應力張量與坐標變換的一點強行理解

一直對張量抱有執念，當初張量分析暈暈忽忽，現在也都忘光光了，啥時候仔細學學吧，到時候順便把這里再捋捋

材料力學中，平面一點的應力狀態可以用應力張量表示

\[\left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right] \tag{1} \label{eq1} \]

按我個人理解，標量 a 可以表示一個量的大小；向量 \((a,b)^T\) 可以表示一個量的大小和方向， a 和 b 為對應基向量方向上的大小；一個二階張量（本質：多重方向性的量）同樣可以表示一個量的大小和方向，該方向由兩個矢量表示（應力：作用面和作用方向），\(\sigma_{xx}\) 為對應基向量上的大小（垂直於x軸的面，平行於x軸方向）。

在給出的平面應力二階張量中，作用面方向可通過 2 個基向量表示，作用方向也可以通過 2 個基向量表示，通過組合可以得到 4 組基

現在指定一個單位方向 \(\vec{n}\)，\(\vec{n}\) 確定的平面上的應力狀態可表示為

\[\left[ \begin{matrix} \overline\sigma_x \\ \overline\sigma_y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{yx} \\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} n_x \\ n_y \end{matrix} \right] \tag{2} \label{eq2} \]

上式的應力矩陣為轉置狀態，！！！這是從力的平衡條件推導得出的！！！

細化分析

\[\overline\sigma_x = \sigma_{xx} \cdot n_x + \tau_{yx} \cdot n_y \\ \overline\sigma_y = \tau_{xy} \cdot n_x + \sigma_{yy} \cdot n_y \tag{3} \]

從力的平衡條件很容易可以推導出上式，我為了仔細理解，現從向量點積的角度考慮 \(\overline\sigma_x\) 的計算：

前面提到，二階張量具有多重方向性，一個量的方向需要兩個矢量描述。在平面應力問題中， \([\sigma_{xx}]\) 表示作用在垂直於x軸的面，並平行於x軸方向上的應力大小。

這里作用面可通過單位法向量描述，作用方向可通過單位矢量描述，其中一個單位矢量可由兩個基向量形成。也即作用面可通過兩個基向量表示，作用方向也可通過兩個基向量表示，作用面基向量 （我稱作 -- 基面） 和作用方向基向量 （我稱作 -- 基向） 兩兩組合形成的二階張量 [基向量？？？] 就可以用來同時表示作用面和作用方向。

從數學的向量積來看，一個向量與單位向量的點積等於該向量在單位向量方向上的投影長度（分量大小）

觀察 \([\sigma_{xx} \ \tau_{yx}]\) 可知，這兩個應力的作用面分別在不平行的兩個面上（可以選做基面），但作用方向均為 x 方向，因此我們可以基於 \([\sigma_{xx} \ \tau_{yx}]\) 提取出任意平面上作用在 x 方向上的應力的一組基，而 \([\sigma_{xx} \ \tau_{yx}]\) 是每個基對應的大小，也即我們考慮的一點應力狀態在這組基下的大小 （我先把 \([\sigma_{xx} \ \tau_{yx}]\) 理解為一個 “向量”，盡管ta並不是）。

從向量積的角度考慮，我們考慮的一點應力狀態在這組基下的 “向量” 與任意面單位法向量的點積就等於：該 “向量” 在任意面上的分量大小。又由於該 ”向量“ 始終表示作用的 x 方向，因此點積結果表示為：在作用方向為 x 的方向上，該 “向量” 在任意面上的分量大小

\(\overline\sigma_y\) 的計算同理。

這里面還有許多數學概念並不清晰，只是我的強行解釋，但我又希望能夠對應力的坐標變換進行數學解釋，因而寫了些許拙見

牢騷

因為應力矩陣是對稱矩陣，所以材料力學書中大都寫為一個無法理解的形式

\[\left[ \begin{matrix} \overline\sigma_x \\ \overline\sigma_y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} n_x \\ n_y \end{matrix} \right] \]

同樣無法理解的是，書中還將應力的坐標轉換寫成

\[\left[ \begin{matrix} \sigma_{ij}^{'} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \lambda \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sigma_{ij} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda \end{matrix} \right]^T \]

其中 \([\lambda]\) 為坐標轉換矩陣，並且 \([\lambda]^T = [\lambda]^{-1}\) ，書中為求簡便將這一定義忽略，不利於理解，正確的定義應該是

\[\left[ \begin{matrix} \sigma_{ij}^{'} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \lambda \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \sigma_{ij} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda \end{matrix} \right]^{-1} \]

這也是相似矩陣的定義，因此 $\left[ \begin{matrix} \sigma_{ij}^{'} \end{matrix} \right] $ 與 $\left[ \begin{matrix} \sigma_{ij} \end{matrix} \right] $ 在不同坐標系下表示同一個物理量。

后話

主應力，主應力方向，應力不變量，應力偏張量

待續...

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最后更新於 2021年5月5日 --- 最初發表於 2021年5月5日
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