慣性張量( Inertia Tensor)與坐標變換


坐標系的變換(圖片來自https://www.cnblogs.com/j-c-y/p/12010152.html)

慣性張量與慣性距

慣性張量的定義:

其中,Ixx, Iyy, Izz為慣性矩。

如何從慣性張量中獲得慣性主軸:

慣性張量 I 的特征值和特征向量等於主慣性矩和主慣性軸的方向!

[v, D]=eigs(I);

  

為什么慣性張量的特征值和特征向量等於主慣性矩和主慣性軸的方向?

這與定義主慣性矩的方式有關:慣性積為零定義為主軸的條件

這樣定義的話,慣性張量僅有主對角元為非零元素,即主軸方向上的主慣性矩,而此時恰好符合特征值的定義。

從矩陣視角看,某一坐標系下定義的慣性張量通過正交相似變換得到特征值矩陣(主慣性矩)AΦ = ΦΛ,而那個正交相似矩陣Φ就是特征向量的向量組(特征向量矩陣)。

 

[1]蔣毅. (1995). 慣性張量及其特征值. 昭通師專學報, 017(003), 73-76,88.

坐標系旋轉

剛體的慣性張量與坐標系旋轉之間存在聯系,可以通過慣性張量獲得轉動角度。

 如何得到θ,假設我們是關於z軸旋轉:

θ = atan(v(2,1)/v(1,1));

其中,V為慣性張量I的特征向量。

應用

結構復模態的旋轉

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                 旋轉前                                                               沿慣性主軸旋轉后 

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