- 思維導圖：
2.基本概念
事件：
- 基本事件：試驗中最小單位的結果。幾何意義：樣本中的一個點
- 例如：投一次骰子，記出現的點數，基本事件為{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。
- 符號表示：w
- 隨機事件:一次試驗的可能結果。 幾何意義：幾個樣本點
- 例如：投一次骰子，出現1或2.隨機事件為{1，2}
- 符號表示：大寫字母如 A、B
- 必然事件：一次實驗中必然發生的事件。幾何意義：樣本空間
- 符號表示：Ω
- 不可能事件：一定不發生的事件。幾何意義：空集
- 符號表示：ø
事件關系：
- 包含 :AコB ，B發生，A一定發生
- 互不相容： AB=ø
- 對立 ：B=¬A(A的逆)
事件運算：
- 並：AㄩB（A+B） A或B發生、A,B至少發生一個
- 交：AB（A*B）A,B同時發生
- 差：A-B=A-AB=A(¬B)
3.概率
- 定義:事件發生的可能性
- 性質：
- 非負性：P(A)>=0
- 規范性：P(Ω)=1
- 可列可加性：A1,A2.....An互不相容，則P(A1+A2+.....+An)=P(A1)+P(A2)+....P(An)
- 單調不減性：AコB，則P(A)>=P(B)
- 加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
- 減法公式：P(A-B)=P(A-AB)=P(A(¬B))
- 求逆公式：P(¬A)=1-P(A)
- 三個重要公式
- 條件概率公式：
- 全概率公式：
若事件A1，A2，…構成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件B，有如下公式成立：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即為全概率公式。特別地，對於任意兩隨機事件A和B，有如下成立：
- 條件概率公式：
注：這里要求A1,A2,....An,是互不相容的。
例一：事件B為我今天去上學，讓我去上學的原因有五種，今天是周一，今天是周二，今天是周三，今天是周四，今天是周五.這五種原因可以 看作完備事件組A1,A2,A3，A4，A5，他們其中發生任意一個都將導致我去上學，且他們是互不相容的。求我今天去上學的概率，也就是事件B的概率.此時用全概率公式。今天是周1的概率為1/7，在周一的情況下我去上學的概率為1，故P(B|A1)P(A)=1*1/7=1/7,將所有分項加起來得P(B)=5/7.
從上述例子可以看出來，全概率公式得本質是知道原因求結果 ，即在知道某一事件在所有可能的各個原因下發生的概率，求得事件的概率。
例二：今天上學，如果下雨我可能會遲到，如果 起床晚了我可能會遲到。已知下雨的概率為0.4，下雨時我遲到的概率為0.9，起床晚了的概率為0.5，起床晚了遲到的概率為0.6.問我遲到的概率。
遲到的概率為：0.4*0.9+0.5*0.6=0.66
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- 貝葉斯公式
貝葉斯公式是用來 已知發生某一事件的概率，來求導致這一事件發生可能的原因的概率。本質來說是知道結果求原因
推導過程：
第一步：P(Bi|A)=P（ABi）/P（A）利用條件概率公式
第二步：分子用乘法公式展開：P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi) 含義：在Bj這個條件下發生事件A的概率
第三步：分母用全概率公式展開：P(A)=P(Bi=1)P(A|Bi=1)+P(Bi=2)P(A|Bi=2)+.....+P(Bi=n)P(A|Bi=n) 含義：在所有可能條件下發生A的概率。
得：P(Bi|A)=P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi) /P(Bi=1)P(A|Bi=1)+P(Bi=2)P(A|Bi=2)+.....+P(Bi=n)P(A|Bi=n)
由此可知，貝葉斯公式其實就是 因為這個原因導致事件發生的概率 比上 因為所有原因(完備事件組)導致事件發生的概率 。
例1：因為是周一所以遲到得概率是0.5，周二0.1，周三0.1，周四0.1，周五0.1，已知我今天遲到了，求今天是周一的概率：
即 0.5/0.5+0.1+0.1+0.1+0.1=5/9.這里的0.5，0.1...0.1已經是條件概率了。
例2：如果 下雨我可能遲到，起床晚了我可能會遲到。已知下雨遲到的概率為0.4，起床晚了遲到(A2)的概率為0.5，
下雨的概率為0.9，起床晚的概率是0.8.問我遲到是因為下雨(A1)的概率。
P(A1|B)=P(A1B) / P(B)=P(B|A1)(A1) / (P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2))=0.4*0.9/(0.4*0.9+0.5*0.8)=9/19
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