- 思维导图：
2.基本概念
事件：
- 基本事件：试验中最小单位的结果。几何意义：样本中的一个点
- 例如：投一次骰子，记出现的点数，基本事件为{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。
- 符号表示：w
- 随机事件:一次试验的可能结果。 几何意义：几个样本点
- 例如：投一次骰子，出现1或2.随机事件为{1，2}
- 符号表示：大写字母如 A、B
- 必然事件：一次实验中必然发生的事件。几何意义：样本空间
- 符号表示：Ω
- 不可能事件：一定不发生的事件。几何意义：空集
- 符号表示：ø
事件关系：
- 包含 :AコB ，B发生，A一定发生
- 互不相容： AB=ø
- 对立 ：B=¬A(A的逆)
事件运算：
- 并：AㄩB（A+B） A或B发生、A,B至少发生一个
- 交：AB（A*B）A,B同时发生
- 差：A-B=A-AB=A(¬B)
3.概率
- 定义:事件发生的可能性
- 性质：
- 非负性：P(A)>=0
- 规范性：P(Ω)=1
- 可列可加性：A1,A2.....An互不相容，则P(A1+A2+.....+An)=P(A1)+P(A2)+....P(An)
- 单调不减性：AコB，则P(A)>=P(B)
- 加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
- 减法公式：P(A-B)=P(A-AB)=P(A(¬B))
- 求逆公式：P(¬A)=1-P(A)
- 三个重要公式
- 条件概率公式：
- 全概率公式：
若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即为全概率公式。特别地，对于任意两随机事件A和B，有如下成立：
- 条件概率公式：
注：这里要求A1,A2,....An,是互不相容的。
例一：事件B为我今天去上学，让我去上学的原因有五种，今天是周一，今天是周二，今天是周三，今天是周四，今天是周五.这五种原因可以 看作完备事件组A1,A2,A3，A4，A5，他们其中发生任意一个都将导致我去上学，且他们是互不相容的。求我今天去上学的概率，也就是事件B的概率.此时用全概率公式。今天是周1的概率为1/7，在周一的情况下我去上学的概率为1，故P(B|A1)P(A)=1*1/7=1/7,将所有分项加起来得P(B)=5/7.
从上述例子可以看出来，全概率公式得本质是知道原因求结果 ，即在知道某一事件在所有可能的各个原因下发生的概率，求得事件的概率。
例二：今天上学，如果下雨我可能会迟到，如果 起床晚了我可能会迟到。已知下雨的概率为0.4，下雨时我迟到的概率为0.9，起床晚了的概率为0.5，起床晚了迟到的概率为0.6.问我迟到的概率。
迟到的概率为：0.4*0.9+0.5*0.6=0.66
-
- 贝叶斯公式
贝叶斯公式是用来 已知发生某一事件的概率，来求导致这一事件发生可能的原因的概率。本质来说是知道结果求原因
推导过程：
第一步：P(Bi|A)=P（ABi）/P（A）利用条件概率公式
第二步：分子用乘法公式展开：P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi) 含义：在Bj这个条件下发生事件A的概率
第三步：分母用全概率公式展开：P(A)=P(Bi=1)P(A|Bi=1)+P(Bi=2)P(A|Bi=2)+.....+P(Bi=n)P(A|Bi=n) 含义：在所有可能条件下发生A的概率。
得：P(Bi|A)=P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi) /P(Bi=1)P(A|Bi=1)+P(Bi=2)P(A|Bi=2)+.....+P(Bi=n)P(A|Bi=n)
由此可知，贝叶斯公式其实就是 因为这个原因导致事件发生的概率 比上 因为所有原因(完备事件组)导致事件发生的概率 。
例1：因为是周一所以迟到得概率是0.5，周二0.1，周三0.1，周四0.1，周五0.1，已知我今天迟到了，求今天是周一的概率：
即 0.5/0.5+0.1+0.1+0.1+0.1=5/9.这里的0.5，0.1...0.1已经是条件概率了。
例2：如果 下雨我可能迟到，起床晚了我可能会迟到。已知下雨迟到的概率为0.4，起床晚了迟到(A2)的概率为0.5，
下雨的概率为0.9，起床晚的概率是0.8.问我迟到是因为下雨(A1)的概率。
P(A1|B)=P(A1B) / P(B)=P(B|A1)(A1) / (P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2))=0.4*0.9/(0.4*0.9+0.5*0.8)=9/19
有错误请指出