圖的定義
圖（Graph）是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G（V，E），其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。
網絡中的點通常稱為節點（Node）；圖中的點則常稱為頂點（Vertex）
線性表中數據元素叫做元素；樹中將數據元素叫做結點；在圖中數據元素叫做頂點（Vertex）
無向邊
若頂點\(V_i\)到\(V_j\)之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊（Edge）,用無序偶對（\(V_i\)，\(V_j\)）表示。簡化寫成\(e_{ij}\)
無向圖
如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是無向邊，則稱該圖為無向圖（Undirected graphs）。
Code Implementation（Python）
# 需要導入networkx、matplotlib庫
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 創建對象
G = nx.Graph()
V = ["V1", "V2", "V3", "V4", "V5"] # 一個元組
# 添加地頂點
G.add_nodes_from(V)
# 通過添加list來添加多條邊
G.add_edges_from([("V1", "V2"), ("V1", "V3"), ("V1", "V5"), ("V2", "V5"), ("V2", "V4"), ("V2", "V3"),
("V3", "V4")])
# circular_layout：表示節點在一個圓環上均勻分布
pos = nx.circular_layout(G)
nx.draw(G,
pos=pos,
with_labels=True, # 節點是否帶標簽，默認True
node_size=800, # 節點大小，默認300
node_color='#66CCFF', # 節點顏色，默認red
font_color='white', # 節點標簽的字的顏色，默認黑色
node_shape='o', # 節點形狀，默認’o’
alpha=1, # 透明度，默認1，不透明
edge_color='#CCFFFF', # 邊的顏色，默認黑色
width=3, # 邊的寬度，默認1
style='solid', # 邊的樣式，默認為實線，可選擇solid、dashed、dotted、dashdot
font_size=15 # 字體大小，默認12
)
# 添加邊的屬性說明
edge_labels = {
("V1", "V2"): "e12",
("V1", "V3"): "e13",
("V1", "V5"): "e15",
("V2", "V5"): "e25",
("V2", "V4"): "e24",
("V2", "V3"): "e23",
("V3", "V4"): "e34"
}
nx.draw_networkx_edge_labels(G,
pos,
edge_labels=edge_labels,
font_color="black" # 屬性說明的字體顏色
)
plt.show()
上圖就是一個無向圖。
- 由於是無向的，則有 \(e_{ij}\)=\(e_{ji}\)
即頂點\(V_1\)到頂點\(V_2\)的邊，既可以寫成\(e_{12}\)，也可以寫成 \(e_{21}\) - 上圖可以表示為G（V，E）
其中頂點集合V={\(V_1，V_2，V_3，V_4，V_5\)}，邊集合E={\((V_1,V_2)，(V_1,V_3)，(V_1,V_5)，(V_2,V_5)，(V_2,V_4)，(V_2,V_3)，(V_3,V_4)\)}
有向邊
若頂點\(V_i\)到\(V_j\)之間的邊有方向，則稱這條邊為有向邊（Edge），也稱為弧（Arc），用有序偶對<\(V_i\)，\(V_j\)>表示，\(V_i\)稱為弧尾（Tail），\(V_j\)稱為弧頭（Head）
有向圖
如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊，則稱該圖為無向圖（Directed graphs）。
Code Implementation（Python）
# 需要導入networkx、matplotlib庫
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 創建對象
G = nx.DiGraph()
V = ["V1", "V2", "V3", "V4", "V5"] # 一個元組
# 添加地頂點
G.add_nodes_from(V)
# 通過添加list來添加多條邊
G.add_edges_from([("V1", "V2"), ("V1", "V3"), ("V1", "V5"), ("V2", "V5"), ("V2", "V4"), ("V2", "V3"),
("V3", "V4")])
# circular_layout：表示節點在一個圓環上均勻分布
pos = nx.circular_layout(G)
nx.draw(G,
pos=pos,
with_labels=True, # 節點是否帶標簽，默認True
node_size=800, # 節點大小，默認300
node_color='#66CCFF', # 節點顏色，默認red
font_color='white', # 節點標簽的字的顏色，默認黑色
node_shape='o', # 節點形狀，默認’o’
alpha=1, # 透明度，默認1，不透明
edge_color='#CCFFFF', # 邊的顏色，默認黑色
width=3, # 邊的寬度，默認1
style='solid', # 邊的樣式，默認為實線，可選擇solid、dashed、dotted、dashdot
font_size=15, # 字體大小，默認12
arrowstyle="->", # 指定箭頭樣式
arrowsize=20 # 指定箭頭大小
)
# 添加邊的屬性說明
edge_labels = {
("V1", "V2"): "e12",
("V1", "V3"): "e13",
("V1", "V5"): "e15",
("V2", "V5"): "e25",
("V2", "V4"): "e24",
("V2", "V3"): "e23",
("V3", "V4"): "e34"
}
nx.draw_networkx_edge_labels(G,
pos,
edge_labels=edge_labels,
font_color="black" # 屬性說明的字體顏色
)
plt.show()
上圖就是一個有向圖。
- 由於是有向的，則有 \(e_{ij}\)≠\(e_{ji}\)
即頂點\(V_1\)到頂點\(V_2\)的邊是有向邊，即弧，\(V_1\)是弧尾，\(V_2\)是弧頭，<\(V_1\)，\(V_2\)>表示弧，注意不能寫成<\(V_2\)，\(V_1\)> - 上圖可以表示為G（V，E）
其中頂點集合V={\(V_1，V_2，V_3，V_4，V_5\)}，邊集合E={\(<V_1,V_2>，<V_1,V_3>，<V_1,V_5>，<V_2,V_5>，<V_2,V_4>，<V_2,V_3>，<V_3,V_4>\)}
無向完全圖
在無向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖為無向完全圖。
含有n個頂點的無向完全圖有\(\frac{n×(n-1)}{2}\)條邊
下圖就是無向完全圖，因為每個頂點都要與除它以外的頂點連線，頂點A與BCD三個頂點連線，共有四個頂點，自然是4×3，但由於頂點A與頂點B連線后，計算B與A連線就是重復，因此要整體除以2，共有6條邊。
有向完全圖
在有向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在方向互為相反的兩條弧，則稱該圖為有向完全圖。
含有n個頂點的有向完全圖有\(n× (n-1)\)條邊
對於具有n個頂點和e條邊數的圖，無向圖0≤e≤\(\frac{n×(n-1)}{2}\)，有向圖0≤e≤\(n (n-1)\)。
稀疏圖、稠密圖、權、網
有很少條邊或弧的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。這里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相對而言的。
有些圖的邊或弧具有與它相關的數字，這種與圖的邊或弧相關的數叫做權(Weight)。這些權可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離或耗費。
這種帶權的圖通常稱為網(Network)。下圖就是一張帶權的圖，即標識中國四大城市的直線距離的網，此圖中的權就是兩地的距離。
子圖
假設有兩個圖G= (V，E) 和 G'= (\(V^'，E^‘)，如果V^'被包含於V且E^'被包含於E，則稱G^'為G的\)子圖(Subgraph)
如下圖帶底紋的圖均為左側無向圖與有向圖的子圖。
對於上圖中的無向圖。頂點V的度(Degree)是和V相關聯的邊的數目，記為TD (v)。
- 頂點A與B互為鄰接點，邊(A，B)依附於頂點A與B上，頂點A的度為3。而此圖的邊數是5，各個頂點度的和=3+2+3+2=10，推敲后發現，邊數其實就是各頂點度數和的一半，多出的一半是因為重復兩次記數。簡記之：
\[e = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} TD(V_i) \]
對於上圖中的有向圖。以頂點V為頭的弧的數目稱為V的入度(InDegree)，記為ID(v)；以V為尾的弧的數目稱為V的出度(OutDegree)，記為OD(v)；頂點V的度為 TD(v)=ID (v)+OD (v)。
- 頂點A的入度是2(從B到A的弧，從C到A的弧)，出度是1(從A到D的弧)，所以頂點A的度為2+1=3。此有向圖的弧有4條，而各頂點的出度和=1+2+1+0=4，各頂點的入度和=2+0+1+1=4。所以得到:
\[e = \sum_{i=1}^{n} ID(V_i)= \sum_{i=1}^{n} OD(V_i) \]
路徑長度
路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目。
回路或環、簡單路徑、簡單回路或簡單環
第一個頂點到最后一個頂點相同的路徑稱為回路或環（Cyce)。序列中頂點不重復出現的路徑稱為簡單路徑。
除了第一個頂點和最后一個頂點之外，其余頂點不重復出現的回路，稱為簡單回路或簡單環。
下圖兩個圖的粗線都構成環，左側的環因第一個頂點和最后一個頂點都是B，且C、D、A 沒有重復出現，因此是一個簡單環。而右側的環，由於頂點C的重復，它就不是簡單環了。
連通圖相關術語
連通圖
在無向圖G中，如果從頂點V到頂點\(V^’\)有路徑，則稱V和\(V^’\)是連通的。
如果對於圖中任意兩個頂點\(V_i\)、\(V_j\)∈E, \(V_i\)和\(V_j\)都是連通的，則稱G是連通圖(ConnectedGraph)。
下圖的圖1，它的頂點A到頂點B、C、D 都是連通的，但顯然頂點A與頂點E或F就無路徑，因此不能算是連通圖。圖2，頂點A、B、C、D相互都是連通的，所以它本身是連通圖。
連通分量
無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。注意連通分量的概念，它強調:
- 要是子圖;
- 子圖要是連通的;
- 連通子圖含有極大頂點數;
- 具有極大頂點數的連通子圖包含依附於這些頂點的所有邊。
下圖的圖1是一個無向非連通圖。但是它有兩個連通分量，即圖2和圖3。而圖4，盡管是圖1的子圖，但是它卻不滿足連通子圖的極大頂點數(圖2滿足)。因此它不是圖1的無向圖的連通分量。
強連通圖、強連通分量
在有向圖G中，如果對於每一對\(V_i、V_j ∈ V、V_i≠V_j ，從V_i到V_j 和從V_j 到V_i 都\)存在路徑，則稱G是強連通圖。
有向圖中的極大強連通子圖稱做有向圖的強連通分量。
例如下圖，圖1並不是強連通圖，因為頂點A到頂點D存在路徑，而D到A就不存在。圖2就是強連通圖，而且顯然圖2是圖1的極大強連通子圖，即是它的強連通分量。
生成樹
一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。
比如下圖的圖1是一普通圖，但顯然它不是生成樹，當去掉兩條構成環的邊后，比如圖2或圖3，就滿足n個頂點n-1條邊且連通的定義了。它們都是一棵生成樹。
從這里也可知道，如果一個圖有n個頂點和小於n-1條邊，則是非連通圖，如果它多於n-1邊條，必定構成一個環，因為這條邊使得它依附的那兩個頂點之間有了第二條路徑。比如圖2和圖3，隨便加哪兩頂點的邊都將構成環。不過有n-1條邊並不一定是生成樹，比如圖4。
有向樹、生成森林
如果一個有向圖恰有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度均為1，則是一棵有向樹。
對有向樹的理解比較容易，所謂入度為О其實就相當於樹中的根結點，其余頂點入度為1就是說樹的非根結點的雙親只有一個。一個有向圖的生成森林由若干棵有向樹組成，含有圖中全部頂點，但只有足以構成若干棵不相交的有向樹的弧。
如下圖的圖1是一棵有向圖。去掉一些弧后，它可以分解為兩棵有向樹，如圖2和圖3，這兩棵就是圖1有向圖的生成森林。
總結
- 圖按照有無方向分為無向圖和有向圖。無向圖由頂點和邊構成，有向圖由頂點和弧構成。弧有弧尾和弧頭之分。
- 圖按照邊或弧的多少分稀疏圖和稠密圖。如果任意兩個頂點之間都存在邊叫完全圖，有向的叫有向完全圖。若無重復的邊或頂點到自身的邊則叫簡單圖。
- 圖中頂點之間有鄰接點、依附的概念。無向圖頂點的邊數叫做度，有向圖頂點分為入度和出度。
- 圖上的邊或弧上帶權則稱為網。
- 圖中頂點間存在路徑，兩頂點存在路徑則說明是連通的，如果路徑最終回到起始點則稱為環，當中不重復叫簡單路徑。若任意兩頂點都是連通的，則圖就
- 連通圖，有向則稱強連通圖。圖中有子圖，若子圖極大連通則就是連通分量，有向的則稱強連通分量。
- 無向圖中連通且n個頂點n-1條邊叫生成樹。有向圖中一頂點入度為0其余頂點入度為1的叫有向樹。一個有向圖由若干棵有向樹構成生成森林。
參考資料：
[1]程傑.大話數據結構[M].清華大學出版社:北京,2011.