高斯的數學

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高斯的數學

高斯在哥廷根大學就讀時期曾求得過一個很著名的結果

但是絕大部分人不知道這個結果，更不知道求解過程，只是聽說過高斯證明了正十七邊形可以用尺規作圖作出來，解決了這個連阿基米德和牛頓都沒證明出來的，已經存在有兩千多年的數學難題的故事。（后世數學屆相對比較公認的把阿基米德、牛頓、歐拉、高斯並稱為數學史上四大數學家，而當時正讀大學的高斯，雖然因為天賦異稟小有名氣，但與前面這幾個名字還是望塵莫及）

高斯的思路其實很簡單，要畫正十七邊形只需求出cos(2π/17）的值，如果能求出來，再驗證其是否滿足尺規作圖能做出來的條件，也就證明了這個難題。而這個難題，最大難點就在於如何求出cos(2π/17）的值。

下面就是當年19歲的數學王子這個名垂千古的求解過程。大家不妨自行體會一下:）

以上。

先把 數學王子 的畫像搬出來！

高斯（1777~1855）

要想知道高斯到底有多厲害，那就得了解下面這些關於高斯的故事和事實.

1. 高斯在 3 歲時便能夠糾正他父親的賬目中的錯誤.

2. 高斯在 9 歲上小學的時候，有一天老師故意布置了一道為難學生的數學題

$~~~~~~~~~~~~1+2+3+\cdot\cdot\cdot+100=~?$

沒想到高斯一下子就給出了正確答案，是 $5050$ . 而且還解釋了解答方法，那就是首尾相加，而現在 等差數列 的求和公式

$~~~~~~a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}.$

就是用高斯的這種方法推導出來的.

3. 高斯在 11 歲時獨立推導出了牛頓的 二項式定理

$~~~~~~~~~~~~(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}} a^{n-k}b^{k}.$

4. 高斯在 14 歲的時候研究了下述數列：

設 $a\geq b>0$ ， $a_{0}=a$ ， $b_{0}=b$ . 如下遞推地定義數列 $\left\{ a_{n} \right\},\left\{ b_{n} \right\}$ ：

$~~~a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},~b_{n}=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}.$

高斯證明數列了 $\left\{ a_{n} \right\}$ ， $\left\{ b_{n} \right\}$ 皆收斂，且極限相等，此極限稱為 $a$ 和 $b$ 的 算術幾何平均值，記作 $AGM(a,b)$ . 高斯還給出了 $AGM(a,b)$ 的表達式：

$AGM(a,b)=\frac{\pi}{2G},~G=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{a^{2}{\cos}^{2}x+b^{2}{\sin}^{2}x}}.$

1976 年，數學家 Salamin 和 Brent 等人在此基礎上發展出了一種計算圓周率 $\pi$ 的快速算法，這種算法就是目前計算圓周率最快的算法之一的 Salamin-Brent 算法：

取 $a=1$ ， $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . 則

$~~~~~~\pi=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{1-2\sum_{k=1}^{n}{2^{n}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}}}.$

5. 1792 年，這一年高斯 15 歲. 有一天高斯偶然得到一本書，書上有一個對數表，還有一個素數表. 由於閑來無事，高斯花了將近一刻鍾的時間計算了其中 $1000$ 個，他驚訝地發現素數的分布密度接近於對數的倒數，這一發現就是就是著名的 素數定理：

$~~\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{\pi(x)}{Li(x)}}=1,~~Li(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}.$

素數定理的數值結果

6. 1796 年，高斯 19 歲，這一年是高斯的高光時刻！

3 月 30 日：高斯證明了正十七邊形可以尺規作圖. 證明正十七邊形可以尺規作圖的關鍵是證明 $\cos\frac{2\pi}{17}$ 可以用根式表達出來，高斯經過一頓巧算得到

$\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.$

正十七邊形尺規作圖

正十七邊形的尺規作圖問題是一個千古難題，對於這一問題的解決高斯頗為得意，據說高斯因此決定在數學和文學之間選擇將數學作為自己的終身事業，而把文學當做興趣愛好，他還囑咐后人將正十七邊形刻在自己的墓碑上.

高斯墓碑上的正十七角星

單單證明正十七邊形可以尺規作圖還不過癮，高斯干脆一口氣把正多邊形的尺規作圖問題一鍋端了，即得到下述結論：

高斯定理：正 $n$ 形邊可以尺規作圖當且僅當 $n=2^kF_{m_{1}}F_{m_{2}}\cdot\cdot\cdot F_{m_{l}}$ ，其中 $k,l\geq0$ ，而 $F_{m_{1}}$ ， $F_{m_{2}}$ ， $\cdot\cdot\cdot$ ， $F_{m_{l}}$ 為兩兩不同的 費馬素數.

可以尺規作圖的正多邊形

4 月 8 日：高斯證明了自己奉之為瑰寶的 二次互反律：

$~~~~~~~~~~\left( \frac{p}{q} \right)\cdot\left ( \frac{q}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.$

高斯對二次互反律鍾愛有加，前后一共給出過 $6$ 種不同的證法，每一種證法都包含了重要的數學思想. 后來他又發現了 四次互反律：

$~~~~~~~\chi_{\pi}(\lambda)=\chi_{\lambda}(\pi)\cdot(-1)^{\frac{N(\pi)-1}{4}\cdot\frac{N(\lambda)-1}{4}}.$

從二次互反律開始，然后發展到三次互反律和四次互反律，后面繼續推廣到 艾森斯坦互反律，最后拓廣到稱之為 類域論 理論高峰的 阿廷互反律. 由此可知二次互反律的重要性，高斯對之愛不釋手也就不難理解了.

7月 10 日：高斯證明了下述結論：

高斯定理：每一個正整數都可以表示為不超過 $3$ 個三角數之和.

比如我們觀察前面幾個正整數：

$1=1，2=1+1，3=3=1+1+1，$

$4=1+3，5=1+1+3，6=6=3+3，$

$7=1+3+3，8=1+1+6，9=3+6，$

$10=10=1+3+6，11=1+10，\cdot\cdot\cdot$

高斯的這一重要結論和下面這些著名的定理緊密相關：

拉格朗日四平方和定理：每一個正整數都可以表示為不超過 $4$ 個平方數之和.

費馬定理：當 $n\geq3$ 時，每一個正整數都可以表示為不超過 $n$ 個 $n$ 角數之和.

n 角數

10月 1 日：高斯得到了關於有限域系數的方程的解的個數的結果，即下述問題：

考慮有限域 $F_{p}$ 上的方程 $x^3+y^3=1$ ，此方程只有有限個解，我們將其解的個數記為 $N(x^3+y^3=1)$ . 那 $N(x^3+y^3=1)$ 的值是多少呢？高斯給出了下述答案：

高斯定理：設 $p$ 為素數，則

(1). 當 $p\equiv 1~ (mod~3)$ 時，

$~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p-2+A.$

其中，整數 $A$ 滿足 $A\equiv 1~ (mod~3)$ ，且 $4p=A^2+27B^2$ .

(2). 當 $p\equiv 2~ (mod~3)$ 時，

$~~~~~~~~~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p.$

如當 $p=61$ 時，顯然有 $4\cdot61=1^2+27\cdot3^2$ ，從而

$~~~~~~N(x^3+y^3=1)=61-2+1=60.$

而當 $p=67$ 時，顯然有 $4\cdot61=(-5)^2+27\cdot3^2$ ，從而

$~~~~~~N(x^3+y^3=1)=67-2-5=60.$

高斯的上述結果對后世影響極大，數學家韋依據此提出了對於 20 世紀的代數幾何造成重大影響的 韋依猜想.

7. 1799 年，高斯 22 歲，他在這一年完成了博士論文，在其博士論文里高斯第一個給出了下述重要定理的證明：

代數學基本定理：復系數多項式方程

$a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n-1}x+a_{n}=0$

必有根. 其中 $n\geq1$ ， $a_{0}\ne0$ .

在高斯的博士論文中，他並未具體構造出多項式方程的解，而是一種純粹的存在性證明. 高斯前后一共給出過代數學基本定理的四個證明，其中最后一個是在 1849 年給出的，是為了慶祝他獲得博士學位 50 周年，此時高斯已 72 歲高齡.

8. 1801 年，高斯 24 歲，在這一年高斯的數論專著《算術研究》問世，這是一部划時代的著作. 在書中高斯對前人在數論中的一些傑出而又零散的成果予以系統地整理並加以推廣，還給出了標准化的記號，把研究的問題和解決這些問題的方法進行了分類，還引進了新的方法，這部著作奠定了近代數論的基礎. 現如今的印度數學家 Bhargava 就是研究了高斯的《算術研究》后獲得啟發做出了一些開創性的工作，從而獲得了 2014 年的 菲爾茲獎，由此可見高斯的這部著作的深刻性和重要性.

高斯的《算術研究》

9. 1807 年，高斯 30 歲，在這一年高斯被任命為 哥廷根大學 的天文學教授和天文台台長. 1809 年，高斯的天文學專著《天體運動理論》出版，書中包含了高斯發明的 最小二乘法，高斯在 1801 年用這一方法計算出了小行星 谷神星 的運動軌道. 高斯在小行星 智神星 的軌道計算方面也獲得了類似的成功，此后小行星和行星被接二連三地發現，這時的高斯聲名遠播，榮譽滾滾而來. 高斯在《天體運動理論》中敘述的方法今天仍在使用.

天文台台長高斯

10. 1812 年，高斯 35 歲，這一年他研究了 超幾何函數，並且把研究成果寫成了專題論文，呈獻給皇家科學院. 所謂的超幾何函數是下述無窮級數：

$F(\alpha,\beta;\gamma;z)=1+\frac{\alpha\beta}{\gamma\cdot1}z+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{\gamma(\gamma+1)\cdot1\cdot2}z^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)\cdot1\cdot2\cdot3}z^3+\cdot\cdot\cdot$

超幾何函數是下述 超幾何方程 的解.

$z(1-z)\frac{d^2u}{du^2}+[\gamma-(\alpha+\beta+1)z]\frac{du}{du}-\alpha\beta u=0.$

超幾何函數是很廣的一類函數，很多我們常見的函數都可以由其表示出來：

$(1+z)^n=F(-n,\beta;\beta;-z).$

$\frac{1}{1-z}=F\left( \frac{1}{2},1;2;4z(1-z)\right).$

$\log(1+z)=zF(1,1;2;-z).$

$\log\frac{1+z}{1-z}=2zF\left( \frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2 \right).$

$\arcsin z=zF\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2 \right).$

$\arctan z=zF\left( \frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2 \right).$

$\cos(n\arcsin z)=F\left( \frac{n}{2},-\frac{n}{2};\frac{1}{2};z^2 \right).$

$e^z=\lim_{n \rightarrow \infty}{F(1,n;1;\frac{z}{n})}.$

現在，超幾何函數已經被推廣到了所謂的 廣義超幾何函數：

${}_p\!F_{q}(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdot\cdot\cdot\alpha_{p};\beta_{1},\beta_{2},\cdot\cdot\cdot,\beta_{n};z)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(\alpha_{1})_{k}(\alpha_{2})_{k}\cdot\cdot\cdot(\alpha_{p})_{k}}{(\beta_{1})_{k}(\beta_{2})_{k}\cdot\cdot\cdot(\beta_{p})_{k}}}\cdot\frac{z^k}{k!}.$

此時超幾何函數可以表達為

$~~~~~~~~~~F(\alpha,\beta;\gamma;z)={}_2\!F_{1}(\alpha,\beta;\gamma;z).$

11. 1827 年，高斯 50 歲，這一年他發表了論文《關於一般曲面的研究》，這篇論文對微分幾何做出了划時代的貢獻，我們現在大學學的古典微分幾何課程里面的理論框架就是由高斯的這篇論文建立的. 空間中的曲面有 第一基本形式 和 第二基本形式，即

$~~~~~~~~I=E(du)^2+2Fdudv+G(dv)^2,$

$~~~~~~II=L(du)^2+2Mdudv+N(dv)^2,$

它們分別描述了曲面的度量和其在空間中的形狀. 曲面上每一點有所謂的主曲率 $\kappa_{1}$ 和 $\kappa_{2}$ ，我們稱 $K=\kappa_{1}\kappa_{2}$ 為 高斯曲率，其表達式為

$~~~~~~~~~~~~K=\kappa_{1}\kappa_{2}=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}.$

從表達式上看好像高斯曲率與第一基本形式和第二基本形式都有關系，但高斯通過計算發現第一基本形式和第二基本形式其實是有關系的，以致高斯曲率最終可以表達成下面這個樣子

$K=\frac{1}{(EG-F^2)^2}\left( \begin{vmatrix} -\frac{G_{uu}}{2}+F_{uv}-\frac{E_{vv}}{2} & \frac{E_{u}}{2}& F_{u}-\frac{E_{v}}{2}\\ F_{v}-\frac{G_{u}}{2} & E& F\\ \frac{G_{v}}{2} & F&G \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 0 & \frac{E_{v}}{2}& \frac{G_{u}}{2}\\ \frac{E_{v}}{2} & E& F\\ \frac{G_{u}}{2} & F&G \end{vmatrix}\right).$

也就是說高斯曲率其實只和第一基本形式有關，這一重要結論就是所謂的 高斯絕妙定理. 高斯絕妙定理是微分幾何發展過程中的里程碑，高斯的這一發現開創了微分幾何的一個新紀元. 正是因為高斯的這一發現，使得我們能夠研究一張抽象曲的僅具有第一基本形式的曲面，專門研究曲面上由它的第一基本形式所決定的幾何學稱為 內蘊幾何. 后來，黎曼繼承並發揚了高斯的這一思想，提出了高維的內蘊微分幾何學的概念，即大名鼎鼎的 黎曼幾何.

在微分幾何方面，高斯還留下了著名的 Gauss-Bonnet 公式：

$~~~\oint_{C}\kappa_{g}ds+\int\int_{D}Kd\sigma=2\pi-\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}}.$

特別地，當 $\kappa_{g}=0$ 時，也就是 $C$ 為測地線時，Gauss-Bonnet 公式變成

$~~~~~~~~~~~~~\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}}=2\pi-\int\int_{D}Kd\sigma.$

若記 $\beta_{i}$ 為測地三角形 $C$ 的內角，即 $\beta_{i}=\pi-\alpha_{i}$ ，則上式等價於

$~~~~~~~~~\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=\pi+\int\int_{D}Kd\sigma.$

由此可見，測地三角形的內角和一般不再等於 $\pi$ ，它與 $\pi$ 之差恰好為曲面的高斯曲率 $K$ 在測地三角形所圍成的區域上的積分，因此歐式平面幾何學與一般的曲面上的幾何學的本質差別就在於空間本身的彎曲性質不同，這是 歐式幾何 與 非歐幾何 的根本區別.

非歐幾何

由 Gauss-Bonnet 公式還可以推出重要的 Gauss-Bonnet 定理：

$~~~~~~~~~~~~~~~~\int\int_{D}Kd\sigma=2\pi\chi(S).$

這是一個十分重要且漂亮的定理，它把微分幾何的不變量（高斯曲率 $K$ ）與拓撲學的不變量（歐拉示性數 $\chi(S)$ ）聯系了起來，它在高維情形的推廣就是著名的 Gauss-Bonnet-Chern 定理.

總高斯曲率由虧格決定

12. 1833 年，高斯 56 歲，這一年他從他的天文台拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以 伏特電池 為電源，構造出了世界上 第一台電報機.

13. 高斯猜想

設 $d\in \mathbb{Z}$ 無平方因子，則域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 為 二次數域，當 $d>0$ 時稱 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 為 實二次數域，當 $d<0$ 時稱 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 為 虛二次數域.

高斯經過計算發現，當

$d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$

時， $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的類數為 $1$ ，但對於是否還有其他類數為 $1$ 的虛二次數域一直無法做出回答. 這個問題直到 1966 年才由數學家 Baker 和 Stark 解決，那就是類數為 $1$ 的虛二次數域只有高斯給出的那 $9$ 個，Baker 和 Stark 由於此項工作而獲得了菲爾茲獎.

對於虛二次數域高斯進一步猜測：具有任意給定類數 $h$ 的虛二次數域的個數 $G(h)$ 是有限的. 1971 年，Baker 和 Stark 證明了 $G(2)=18$ . 到 1983 年，Goldfeld，Gross 和 Zagier 最終證實了高斯的猜測.

對於實二次數域，高斯還有一個猜測：

高斯猜想：有無限個 $d>0$ ，使得 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的類數為 $1$ .

現如今，雖然對於高斯的這一猜想已有許多結果，但猜想遠未完全得到解決.

14. 正態分布

高斯在研究測量誤差時得到了所謂的 正態分布 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ ，這是概率論與數論統計學中最重要的分布. 因此現在我們也把正態分布的密度函數

$~~~~~~~~~~~~~~~f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

稱為 高斯函數. 現今德國 20 馬克的硬幣上就印有正態分布的密度函數的圖像，以向世人傳達高斯在這方面的傑出貢獻.

德國 20 馬克的硬幣

15. 雙紐線周率

高斯考慮了跟 $\pi$ 類似的常數 $\varpi$ ！我們都知道圓周率 $\pi$ 是圓的周長與直徑的比，其實數學中還有下面這種曲線：

$~~~~~(x^2+y^2)^{2}=a^2(x^2-y^2)~~(a>0).$

這種曲線稱為半徑為 $a$ 的 Bernoulli 雙紐線，簡稱為 雙紐線.

Bernoulli 雙紐線

高斯考慮了 雙紐線 的周長與直徑的比. 不難知道 雙紐線 在極坐標下的方程為 $r^2=a^2\cos2\theta$ ，現以極徑 $r$ 為參數，可得 雙紐線 的周長為

$L=4\int_{0}^{a}\sqrt{1+r^2(\frac{d\theta}{dr})^2}~dr=4\int_{0}^{a}\frac{a^2}{\sqrt{a^4-r^4}}dr$

$~~~=4a\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx=a\int_{0}^{1}u^{-\frac{3}{4}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}du$

$~~~=a\cdot B\left( \frac{1}{4} , \frac{1}{2}\right)=a\cdot\frac{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{3}{4}\right)}=a\cdot\frac{{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right) \Gamma\left( \frac{3}{4}\right)}$

$~~~=a\cdot\sqrt{\pi}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\pi}=\frac{a}{\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2.$

從而 雙紐線 的周長與直徑的比為

$~~~~~~~~~~~~~~\frac{L}{2a}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2.$

由此可知 雙紐線 的周長與直徑的比為一個常數，現在我們稱這個常數為 雙紐線周率，記為 $\varpi$ . 由上面的推導可知

$\varpi=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot{\Gamma\left( \frac{1}{4}\right)}^2\approx2.6220575542921198\cdot\cdot\cdot$

由定義可知 $\pi$ 和 $\varpi$ 長的像兩兄弟，不僅如此，它們還有類似的積分表達式

$\pi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}~dx,~~\varpi=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}~dx.$

更有意思的是 $\varpi$ 還與下面這些級數有關系.

$~~~\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^3}{e^{2\pi n}-1}}=\frac{1}{80}{\left( \frac{\varpi}{\pi} \right)}^{4}-\frac{1}{240},$

$~~~\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(e^{2\pi n}-1)}}=-\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\log\left( \frac{\varpi}{\sqrt{2}\pi} \right),$

$~~~\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{-2\pi n})^{24}=e^{2\pi}{\left(\frac{\varpi}{\sqrt{2}\pi} \right)}^{12}.$

16. 高斯引理

高斯引理（代數）：本原多項式的乘積仍為本原多項式.

高斯引理（數論）： $\left( \frac{a}{p} \right)=(-1)^\mu$ .

高斯引理（幾何）：從點 $p$ 出發的測地線與以點 $p$ 為中心的測地圓是彼此正交的.

微分幾何中的高斯引理

17. 高斯公式

高斯在研究電磁學的時候得到了我們現在大學數學課本中都能夠看的 高斯公式：

$\int_{\partial D}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int_{D}\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)dxdydz.$