高斯平滑

發展到現在這個平滑算法的時候, 我已經完全不知道如何去命名這篇文章了, 只好羅列出一些關鍵字來方便搜索了.

在之前我們提到過了均值濾波器, 就是說某像素的顏色, 由以其為中心的九宮格的像素平均值來決定. 在這個基礎上又發展成了帶權的平均濾波器, 這里的高斯平滑或者說濾波器就是這樣一種帶權的平均濾波器. 那么這些權重如何分布呢? 我們先來看幾個經典的模板例子:

嘗試了使用這些濾波器對我們原來的圖進行操作, 得到了這樣的一組結果:

原圖:

3x3 高斯:

5x5 高斯:

 

單純從效果來看, 兩個模板都起到了平滑的作用, 只是程度有深淺的區分. 那么從理論上來說為什么能起到平滑的作用呢? 很顯然, 像素的顏色不僅由自身決定了, 同時有其周圍的像素加權決定, 客觀上減小了和周圍像素的差異. 同時這些權重的設定滿足了越近權重越大的規律. 從理論來講, 這些權重的分布滿足了著名的所謂高斯分布:

   這就是1維的計算公式

 這就是2維的計算公式

x, y表示的就是當前點到對應點的距離, 而那些具體的模板就是由這里公式中的一些特例計算而來. 需要說明的是不只有這么一些特例, 從wikipedia可以方便地找到那些復雜的模板比如像:

Sample Gaussian matrix

This is a sample matrix, produced by sampling the Gaussian filter kernel (with σ = 0.84089642) at the midpoints of each pixel and then normalising. Note that the center element (at [4, 4]) has the largest value, decreasing symmetrically as distance from the center increases.

0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00038771	0.01330373	0.11098164	0.22508352	0.11098164	0.01330373	0.00038771
0.00019117	0.00655965	0.05472157	0.11098164	0.05472157	0.00655965	0.00019117
0.00002292	0.00078633	0.00655965	0.01330373	0.00655965	0.00078633	0.00002292
0.00000067	0.00002292	0.00019117	0.00038771	0.00019117	0.00002292	0.00000067

是不是看到就頭大了:) 不過沒關系, 對於一般的應用來說, 前面的例子已經可以完成任務了.  代碼的話我們還是給一份5x5的example:

/** 
** method to remove noise from the corrupted image by gaussian filter value 
* @param corrupted input grayscale binary array with corrupted info 
* @param smooth output data for smooth result, the memory need to be allocated outside of the function 
* @param width width of the input grayscale image 
* @param height height of the input grayscale image 
*/  
void gaussianFilter2 (unsigned char* corrupted, unsigned char* smooth, int width, int height)  
{  
    int templates[25] = { 1, 4, 7, 4, 1,   
                          4, 16, 26, 16, 4,   
                          7, 26, 41, 26, 7,  
                          4, 16, 26, 16, 4,   
                          1, 4, 7, 4, 1 };        
      
    memcpy ( smooth, corrupted, width*height*sizeof(unsigned char) );  
    for (int j=2;j<height-2;j++)  
    {  
        for (int i=2;i<width-2;i++)  
        {  
            int sum = 0;  
            int index = 0;  
            for ( int m=j-2; m<j+3; m++)  
            {  
                for (int n=i-2; n<i+3; n++)  
                {  
                    sum += corrupted [ m*width + n] * templates[index++] ;  
                }  
            }  
            sum /= 273;  
            if (sum > 255)  
                sum = 255;  
            smooth [ j*width+i ] = sum;  
        }  
    }  
}