Gauss消元法
Gauss消元法的步驟：
(1) 若方程組的第一個主元位置為\(0\)則交換方程以得到第一個主元 ；
(2) 用第一個方程的倍數消去第一個主元下方所有系數；
(3) 確定第二個主元，繼續以上消元過程；
(4) 最后得到含一個未知量的方程，回代得方程組的解.。
\(n\)個方程有\(n\)個主元\(\Leftrightarrow\)方程組有唯一解。
消元中止\(\Rightarrow\)方程組無解或有無窮多解(即出現\(0 = c \neq 0\)或\(0 = 0\)).
解：
消去矩陣
現在有矩陣\(A\)
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
需要將其變換為階梯形矩陣\(U\)。
首先，第二行減去第一行的三倍。
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
記左側矩陣為\(E_{21}\)
然后，第三行減去第二行的兩倍。
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
記左側矩陣為\(E_{32}\)
因此，整個變換過程為\(E_{32}(E_{21}A) = (E_{32}E_{21})A = U\)
置換矩陣
置換矩陣（交換第一行和第二行）：
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix} \]
注：若對列進行變換，則將變換矩陣放在右邊。“左行右列”