Gauss消元法
Gauss消元法的步骤：
(1) 若方程组的第一个主元位置为\(0\)则交换方程以得到第一个主元 ；
(2) 用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数；
(3) 确定第二个主元，继续以上消元过程；
(4) 最后得到含一个未知量的方程，回代得方程组的解.。
\(n\)个方程有\(n\)个主元\(\Leftrightarrow\)方程组有唯一解。
消元中止\(\Rightarrow\)方程组无解或有无穷多解(即出现\(0 = c \neq 0\)或\(0 = 0\)).
解：
消去矩阵
现在有矩阵\(A\)
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
需要将其变换为阶梯形矩阵\(U\)。
首先，第二行减去第一行的三倍。
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]
记左侧矩阵为\(E_{21}\)
然后，第三行减去第二行的两倍。
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
记左侧矩阵为\(E_{32}\)
因此，整个变换过程为\(E_{32}(E_{21}A) = (E_{32}E_{21})A = U\)
置换矩阵
置换矩阵（交换第一行和第二行）：
\[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix} \]
注：若对列进行变换，则将变换矩阵放在右边。“左行右列”