高斯-約旦消元法 理解

高斯消元是一種解方程的很巧妙的方法，核心是把方程轉換成矩陣形式，然后再通過加減消元，求出值后再回帶，就解出了這個方程，這里我就不贅述了。

 

我一般用高斯-約旦消元法，這種方法是直接轉換成單位矩陣求解，減少回帶次數，提高精確度，實現方式如下：

下方是一個方程

把它轉換成矩陣形式就是:

我們可以這樣對其進行變換:

在第一行找到第一個元素，向下尋找有沒有絕對值更大的，如果有就交換。

對於之后的如法炮制即可。

最后，我們就可以得到這樣一個矩陣：很顯然，在左邊是單位矩陣的情況下，右邊即為原方程的解。

需要注意的是，如果在轉換的時候主元系數為0，這種就是無解（右邊為非零數）或無窮多解（右邊為零），如下為無窮多解：

可以發現，消元已經已經無法進行了。

 

所以，算法的思路已經出來了，接下來根據思路模擬就行了。

核心代碼如下：

const double eps=1e-6;
void Guass-Jordan(){
    int r;double tmp;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
                if(fabs(a[r][i])<fabs(a[j][i]))
                r=j;
        if(r!=i)
            swap(a[r],a[i]);
        if(fabs(a[i][i])<eps){
            p=0;
            return;
        }
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(j!=i){
                tmp=a[j][i]/a[i][i];
                a[j][i]=0;
                for(int k=j+1;k<=n+1;++k)
                    a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i][n+1]/=a[i][i];
    return;
}

 

恩，這就是我學了幾天沒學懂的東西

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