##Nolting 多體物理第一章二次量子化

本文轉載自查看原文 2021-03-13 17:49 420 多體物理

第一章二次量子化第11頁開始

1.1節全同粒子

見筆記本：

1.2節連續福克表象

1.2節從書中8到11頁的部分見筆記本：

前面的討論說明應用對稱（反對稱）N粒子態很復雜。因此引入產生湮滅算符。

1.真空態

引入真空態

2.產生算符

1）特點：

它聯系了有不同粒子數的多粒子希爾伯特空間：

2）定義：

此算符由它的作用定義：
產生算符作用於N粒子態基矢 ：

式中注意加到波函數中的位置 （這個位置是定義出來的）。注意產生算符作用后，波函數的粒子指標也改變了，因為粒子指標就是從左到右排的，確實，因為前面（1.25）式后面的說明中說了就是一個標准排列（這也是定義出來的，確實，而且與實驗相符）。

3）物理意義：

產生了一個處於單粒子態的粒子。

4）用產生算符表示N粒子態基矢：

證：由（1.35）即得。

這里必須要注意算符的順序，例如：根據（1.35）得：

上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N)這些符號，這里沒有寫出來。

（1）、（2）算符順序不同，結果也不同。

（2)的證明：

5）產生算符的對易關系：

對玻色子，產生算符對易，對費米子，產生算符反對易。

證：對玻色子，（1）=（2），得：=0.
對費米子，（1）=—（2），得：得證。

3.湮滅算符

它是的厄米共軛算符

1）特點：

聯系了有不同粒子數的多粒子希爾伯特空間：

2）定義：

（1.40）式中注意加到波函數中的位置

3）用湮滅算符表示N粒子態基矢：

（1.40）、（1.41）證：（1.35）、（1.36）取厄米共軛得到。

4）物理意義：

a.湮滅算符作用於N粒子態基矢：

注意（1.42）式同時包含了下面b.中說的兩種情況。

（1.42）證明：計算下面的矩陣元：

第一行到第二行是代入了（1.40）式得到。第二行到第三行是代入（1.29）式得到。
通過對上式最后一行的求和進行分類，得：

【上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N)這些符號，這里沒有寫出來。】

【證明略，我不是研究這個的，有人證明了，這個證明很復雜，我可以證明出來，有思路，但沒時間，確實算了】
上式右邊的求和又可以寫成標量積，但是現在等號右邊的波函數都是在希空間中：

【上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N-1)這些符號，這里沒有寫出來。】

【【上式證明：

】】

由於左矢是的任意一個基矢，所以從上式即得到（1.42）式。得證。

b.湮滅算符的物理意義：

情況1：如果單粒子態出現在構造了N粒子態基矢的單粒子態中，則（1.42）說明湮滅算符作用於，得到等式右邊不含的（N-1）粒子態。說明湮滅算符湮滅了一個處於單粒子態的粒子。
情況2：如果單粒子態不出現在構造了N粒子態基矢的單粒子態中，則（1.42）說明湮滅算符作用於N粒子態基矢，N粒子態基矢消失。一種特殊情況為：

上面結論及（1.43）的證明：

5）湮滅算符的對易關系：

6）湮滅算符和產生算符之間的對易關系：

注意（1.45）右邊是函數，不是克羅尼克符號。
使用對易關系（1.37）、（1.44）、（1.45），我們能得到算符的任意排列順序。

（1.44）證明：

（1.45）證明：

因此，通過使用（1.36）和（1.41），我們能將所有N粒子態通過重復運用產生和湮滅算符得到真空態。

證明：我不會證明上面這個結論，以后再說或以后問別人，討論的重要性.

4. 用產生湮滅算符表示的N粒子可觀測量（其實是可觀測量的算符）

1）可觀測量

對任意可觀測量使用完備性條件（1.32），得：

將第一個划線處換成（1.36），第二個划線處換成（1.41)得：

通常包括單粒子和兩粒子部分：

2）單粒子部分：

在右邊，粒子數N不再精確地出現。（因為有N個粒子，所以這里的n=N）。

（1.51）證明：討論單粒子部分時，在（1.47）中需要求下面的矩陣元：

上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N-1)這些符號，這里沒有寫出來。

（1.49）證明：

后面一直到（1.51）式的內容都不懂，非常難，也沒有寫得很清楚，寫得很簡略。

最后得到（1.51）式。

3）兩粒子部分：

矩陣元能夠由無對稱性態構造：

但也能由對稱兩粒子態：

來構造。

上式證明：將代入即得。

每個和對(1.54)提供相同的貢獻，因此歸一化因子保證(1.54)中的對稱矩陣元素與非對稱矩陣元素等價。因此，人們可以在方便的基礎上做出選擇。

（1.51）和（1.54）的證明及后面這些關於矩陣元的說法在nolting書中寫得太簡略，我看不懂，而且這部分很難。以后聽老師上課講。北大高量課有證明這兩個公式。

5. 此節總結：

用產生湮滅算符表示的N粒子態基矢：

波函數的對稱行為由以下算符的對易關系代替：

用產生湮滅算符表示的N粒子可觀測量：

其中留下的矩陣元能被直接計算。我們將在第二章給出一些應用這個程序的例子。

6. 占據密度算符和粒子數算符

1）引入占據密度算符：

的基矢態是占據密度算符的本征態：

微觀占據密度包含於上面的花括號中。

上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N)這些符號，這里沒有寫出來。
(1.56)證明：
由（1.35）和（1.42）得到：

上式證明：

在上式中分別令=，...，，並注意到的偶數次方等於1，得(1.56). 得證。

2）引入粒子數算符：

的基矢是粒子數算符的本征態，且本征值為粒子數N。

上面每個單粒子波函數上都有（1）...（N)這些符號，這里沒有寫出來。
上式證明：第一行等號右邊是因為粒子數算符的作用就是這樣定義的（這是因為（1.56）和（1.57）式）。第二行是因為函數的性質。

3）對易關系

a.占據數密度算符與產生湮滅算符的對易關系：

b.粒子數算符和產生湮滅算符的對易關系：

(1.59)、(1.60)證明：

(1.61)證明：

由（1.61）得：

將（1.62）作用到N粒子基態，得：

從此式可知，產生湮滅算符的定義是合適的。

7.位置算符和場算符

1）位置算符：

回顧一下，我們在1.2節的開頭（見筆記本）假設了具有連續譜的單粒子可觀測量，從這個單粒子可觀測量的本征態構造了希爾伯特空間的N粒子態基矢。這類可觀測量的一個重要例子是：位置算符

2）場算符：

與位置算符對應的產生湮滅算符稱為場算符

3）場算符對N粒子態基矢的作用：

4）N粒子態基矢用場算符表示：

5）場算符的對易關系：

(1.63)~(1.65)證明：前面得到的所有產生湮滅算符的關系對場算符都成立，故得證。

6）場算符與產生湮滅算符之間的關系：

在這第7點之前，是單粒子可觀測量的本征態，但在這第7點，取=后，這里的不是表示的本征態，而是表示另一個算符的本征態。
產生湮滅算符是對應的產生湮滅算符。比如

場算符是對應的產生湮滅算符。比如

(1.66)~(1.69)證明：

此證明是書中的證明，但我認為有錯誤。以后上課問老師或同學，或找negele的書（因為數學很嚴謹）。正確的證明見喀書高等量子力學428至429頁中（31.21）至（31.24）式的證明。

其實從研一的我現在看來，我上面寫的證明過程中說的問題也許不重要，可能物理就是沒有數學嚴謹

1.3節離散福克表象

假設N全同粒子系統的希空間的基矢由單粒子可觀測量構造，具有離散譜。

我們從（1.25）式形式的不對稱N粒子態開始：注意是直積.

這里取的態指標是被給出在一個任意、但是固定的標准排列。
將（1.18）中的作用於（1.73），

得：

1.對稱（反對稱）N粒子態：

(1.74)

它與連續譜情況的（1.26）不同在於歸一化因子，此歸一化因子現在還是一個待定常數。

對費米子，費米子反對稱N粒子態也能寫成slater行列式的形式：

從slater行列式可以導出泡利不相容原理，見量子力學筆記本。泡利不相容原理不僅在這里討論的離散譜的情況下成立，也在連續譜情況成立。連續譜情況的(1.26)對情況也能寫成slater行列式的形式。

2.占據數

為了確定歸一化常數，引入占據數

占據數：處於態的全同粒子的數目。

注意這里和1.1節、1.2節的情況不同，1.1節、1.2節中的的排列中（即中）可以有兩個相同的。但在這里波函數是，故這里要求的排列中不能有兩個相同的。

3.歸一化因子

將對稱（反對稱）N粒子態（1.74）歸一化為1，得歸一化因子：
在費米子情況，

在玻色子情況，

注意（1.79)中 $i$ 是不同的單粒子態的序號。

（1.79）的形式其實對費米子也有效，因為在費米子情況，只能取0和1，而，故費米子情況的（1.79）和（1.78）式相等。

（1.78）和（1.79）的證明：
將對稱（反對稱）N粒子態（1.74）歸一化為1，得：

得到：

在費米子情況，由於每個單粒子態上只能有一個粒子，故（1.77）中的至中沒有兩個相同的單粒子態，故(1.77)的右邊只有在等於1（此時=0，=1）才不為0，故由（1.77）和得：=1.即，得證。

在玻色子情況，

4.占據數表象

1）占據數表象：

從(1.74)可知, 由於排列只對單粒子指標（或只對單粒子態）作用，作用於並不會改變不同的單粒子態上的粒子數，故對稱(反對稱)N粒子態基矢能獨一無二地通過它的占據數來表征，但是將各種排列加和，故也不是直接為個粒子位於態，...，個粒子位於態，...時單粒子態的直積。從以上討論知，可以引入福克態表征對稱(反對稱)N粒子態基矢. 這導致了占據數表象。

2）福克態：

a.福克態：

占據數表象中的基矢 (1.80)稱為福克態:

（1.80）是根據（1.74）直接得到的。

注意（1.80）第一行等號，福克態和N粒子態基矢相等。
注意在福克態的符號中給出了所有占據數。未被占據的單粒子態由表示。如果兩個福克態的所有占據數都是相同的，則這兩個福克態是同一個態。
注意(1.80)中，排列不會改變不同的單粒子態上的粒子數，故福克態確實是表示有個粒子位於態，...，個粒子位於態，...，但福克態是將各種排列加和，故福克態也不是直接為個粒子位於態，...，個粒子位於態，...時單粒子態的直積。

b.福克態的正交歸一條件：

c.福克態的完備性條件：

求和是對所有允許的占據數求和, 但還應滿足條件.
從（1.82）證明過程的划線句可知：此完備性條件中的態的粒子數為N，則此完備性條件（1.82）只能作用於粒子數也為N的N粒子本征態。（這個書上沒有，是我自己得到的結論）

（1.81）、（1.82）證明：

3）產生算符

a.產生算符的定義：

這里，

注意由於是產生算符的定義，（1.83）被定義都包括了費米子和玻色子的情況。在費米子情況，由於泡利不相容原理，只能取0或1，若=1，則根據（1.83）右邊和slater行列式（有兩行相同，行列式為0）知，此時（1.83）右邊為0.

b.產生算符作用於福克態

（1.83）也可以寫成：產生算符作用於福克態：
對玻色子：

對費米子：

(1.85)證明：
對玻色子：將代入（1.83）得到。
對費米子：將代入（1.83），並考慮泡利不相容原理，根據（1.83）下面的討論得到。

c.用產生算符表示N粒子福克態：

證：從（1.83）得。

4）湮滅算符

湮滅算符作用於福克態：
對玻色子：

對費米子：

（1.87）證明：

5）產生湮滅算符的對易關系：

證：見nolting書25頁下面~27頁，寫得好。

6）用產生湮滅算符表示N粒子可觀測量

和（1.48）一致：

我們使用和連續譜情況相同的考慮，得：
用產生湮滅算符表示N粒子可觀測量：

與連續譜情況的唯一區別在於，在這種情況下，兩粒子矩陣元必須在每種情況下都從不對稱兩粒子態構成。而對在離散譜（1.54）中的兩粒子矩陣元，我們還可以使用對稱（反對稱）態。這個區別的原因僅在於不同的歸一化。

怎么證明（1.100）和上面這個結論？我不會證明，因為（1.51）、（1.54）的證明很復雜，我還不懂，（1.100）的證明書上也沒寫。所以這個結論我也不知道證。以后證，上課、北大高量課等。

7）占據數算符和粒子數算符

a.占據數算符

類似於占據密度算符（1.55），在離散譜情況，定義占據數算符：
（1.101）
從nolting書中第26頁（1.91）、（1.94）得：

因此，占據數算符的作用是詢問了在第r個單粒子態占據了多少個粒子這個問題。

b.粒子數算符

定義粒子數算符：
（1.103）
粒子數算符的本征態是福克態，本征值為總粒子數N：

c.占據數算符與產生湮滅算符的對易關系：

（1.105）

d. 粒子數算符和產生湮滅算符的對易關系：

（1.105）

（1.105）四個公式的證明：由產生湮滅算符的對易關系（1.97）、（1.98）、（1.99）可以證明。證明過程與連續譜情況的（1.59）、（1.60）、（1.61）的證明類似，證明略。

1.4節習題

1. 1.4.4題：典型題產生湮滅算符的應用

考慮N個全同粒子的系統，具有兩兩相互作用，此相互作用僅依賴於它們之間的距離：
證明哈密頓量

在連續表象（平面波）能寫成：

其中，
是相互作用勢能的傅里葉變換（為知筆記中的傅里葉變換公式：
還應寫成三維）。
你能利用下面的函數的關系式：

證明：見書510至512頁

題中的證明：

2. 1.4.5題典型題，重要多個產生湮滅算符算復雜的對易：利用產生湮滅算符對易關系

證明下面的粒子數算符和1.4.4題中的哈密頓量對易。
粒子數算符： $\hat{N} = \int d^{3} k a_{k}^{+} a_{k}$
注意，這里粒子數算符與產生湮滅算符對易這個結論未完
證：見書512至513頁：

注意這里多個產生湮滅算符算對易：利用產生湮滅算符對易關系**.

這個兩體算符的相關計算比較復雜，重要：

3. 1.46題典型題場算符的應用但答案不嚴謹，有錯誤

考慮N個全同粒子的系統，具有兩兩相互作用，此相互作用僅依賴於它們之間的距離，哈密頓量H能在場算符的角度表示成：

證明上面這個H表示和1.44題中推導出來的在表象中的哈密頓量H是等價的。

證明：見書513至514頁.

但是書中的證明不嚴謹，有錯誤，見書513頁我寫的筆記。所以還是學negele的書

4. 1.4.7題：計算對易式，涉及粒子數算符、粒子數密度算符。還是利用產生湮滅算符的對易關系

Exercise $1.4.7$ Let $a_{φ_{α}} = a_{α}$ and $a_{φ_{α}}^{+} = a_{α}^{+}$ be annihilation and creation operators for single-particle states $| φ_{α} ⟩$ of an observable $\hat{Φ}$ with a discrete spectrum.離散譜。
使用玻色子、費米子產生湮滅算符的對易關系計算以下對易式：

${[{\hat{n}}_{α}, a_{β}^{+}]}_{-}$
${[{\hat{n}}_{α}, a_{β}]}_{-}$
${[\hat{N}, a_{α}^{+}]}_{-}$
${[\hat{N}, a_{α}]}_{-}$

5. 習題1.4.8：

證明使用習題1.4.7中對費米子所做的假設，下列關系是有效的：

${(a_{α})}^{2} = 0; {(a_{α}^{+})}^{2} = 0$
${({\hat{n}}_{α})}^{2} = {\hat{n}}_{α}$
$a_{α} {\hat{n}}_{α} = a_{α}; a_{α}^{+} {\hat{n}}_{α} = 0$
${\hat{n}}_{α} a_{α} = 0; {\hat{n}}_{α} a_{α}^{+} = a_{α}^{+}$

泡利不相容原理：不能有兩個全同費米子處於同一個單粒子態。

5. 習題1.4.9：重要，巨正則系綜（但這是無相互作用的粒子系統的情況）

考慮一個由無相互作用的完全相同的玻色子或費米子組成的系統：

H = \sum_{i = 1}^{N} H_{1}^{(i)}

假設單粒子算符

H_{1}^{(i)}

具有離散的、非簡並的譜：

H_{1}^{(i)} | φ_{r}^{(i)} ⟩ = ε_{r} | φ_{r}^{(i)} ⟩; ⟨ φ_{r}^{(i)} ∣ φ_{S}^{(i)} ⟩ = δ_{r s}

| φ_{r}^{(i)} ⟩

用於構造福克態

{| N; n_{1}, n_{2}, \dots ⟩}^{(ε)}

. 系統的一般狀態由非歸一化密度矩陣ρ描述，對於該非歸一化密度矩陣，在巨正則系綜(粒子數可變！)中，下列條件成立：

ρ = \exp [- β (H - μ \hat{N})]

1.二次量子化的哈密頓量是什么？
2.驗證了對於巨正則配分函數，下列關系成立：

3.計算粒子數的期望值

4.計算內能：

5.計算第i個單粒子態的平均占據數， $⟨ {\hat{n}}_{i} ⟩ = \frac{1}{Ξ} Tr (ρ a_{i}^{+} a_{i})$ ，並證明以下關系成立：

2.巨正則系綜的非歸一化密度矩陣：

歸一化福克態：，前面正文中已經證明了它是 ${\hat{n}}_{r}$ 的本征態，根據 $H = \sum_{r} ε_{r} a_{r}^{+} a_{r} = \sum_{r} ε_{r} {\hat{n}}_{r}$ 和 $\hat{N} = \sum_{r} {\hat{n}}_{r}$ 知道，它也是 $\hat{N}$ 和H的本征態：