量子化KG場論


第章

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1.1節

1.KG場的正則量子化


哈密頓量密度其實是能量動量張量的0階分量。
非相對論量子力學中
,量子化,將泊松括號變為對易,
類比非相對論量子力學,猜測KG場論的量子化,稱為等時量子化方案(或正則量子化方案)
在t=0時刻,
(狄拉克delta函數)

將場和共軛動量提升為算符的話就滿足上面這樣的兩條。
對KG方程中的場進行傅里葉變換(在量子化一維弦的時也用了這種方法):

得:

其中,類似狹義相對論中能量與動量、質量的關系,故Wp與能量有關。
此方程類似諧振子方程,其解為

回顧量子力學中的諧振子:

作為對比,考慮KG場

將場和共軛動量提升為算符,對場進行傅里葉變換,並類比前面諧振子中的升降算符,且(為了保證場是厄米算符,故必須有上升算符和下降算符兩項),得:場和共軛動量


可以驗證它們都是厄米算符。
為使得它們滿足等時量子化條件:升降算符必須滿足以下充要條件

證明:注意在 ϕ 中,p是一個積分變量,所以可以在 ϕ 中第二項令p'=-p,故得:

為了在后面計算中不混淆p,所以在共軛動量中用p'(這沒什么影響):

由於,故在計算時,只有交叉的升降算符算對易時不為0,故

得:


最后一行利用了delta函數的傅里葉展開。
最后結果正好是前面猜測的等時量子化條件中的前一條。另一條是作業。得證。

下面求哈密頓量:



得:


改變積分次序,先積
=,再由這個關於p的delta函數可以化簡,經過復雜計算,得:哈密頓量H
注意上面公式的p都是p,不是p'。
由於= ( 2 π ) 3 δ ( 0 ) ,故項是高度發散的一項,這一項稱為零點能。

可以把零點能去掉,校准基態能量為0,然后就可以算激發態和基態的能極差。

上面哈密頓量公式類似量子力學諧振子。但由於這里是積分,故這里的哈密頓量是無窮多個諧振子,每個頻率不同,為。由於現在研究的是自由KG場論,其簡單性在於所有諧振子都是獨立的,沒有耦合。這印證了之前講的一個概念:量子場論可以認為是無窮多個諧振子的聯合。

2.KG場論的能譜(能量本征態)

1)真空、扔掉零點能

之前已經求出來哈密頓量H=

場論中,真空:指的是一個體系的基態(能量最低的態)。
類比量子力學諧振子,定義:基態必須滿足:對任意p,
計算:代入前面H的表達式,由於,故H中第一項作用於基態等於0,故得:

為了計算能級差,現在校准基態,使得,即令零點能為0,這種“校准”稱為正則排序,其物理意義以后再講,在平直時空,可以把零點能扔掉,但不影響物理后果。這相當於在山頂測身高,校准到海平面測身高。

2)哈密頓量與產生消滅算符的對易關系、多粒子態

在量子力學諧振子中
,其為能量本征態(粒子數表象、能量表象)
KG場論中,,由得:哈密頓量與產生消滅算符的對易關系

其中

構造單粒子態:

代入,得:

以前講過,粒子是場激發的量子。故此態可以詮釋為一個粒子,其動量為p,能量為Wp= p 2 + m 2

構造雙粒子態;

代入前面得到的,得:


哈密頓量作用於這個態得到兩個能量之和,故稱為雙粒子態。

其余多粒子態同理。

3)多粒子態、玻色愛因斯坦統計、計算體系總動量算符:


物理意義:由於是粒子數算符,故此式說明一個粒子貢獻的動量為p
注意此公式左邊是算符,右邊中的p只是積分變量。
此式第一個等號怎么得到的?以后再說 。

可以證明


結論:
是哈密頓量和總動量算符的共同本征態,稱其為n粒子態,總能量是每個粒子能量的和,總動量是每個粒子攜帶的三動量的矢量和。
為什么量子場論是描述無窮多個粒子的框架?因為有無窮多個產生算符作用與這個態就會產生多個粒子。

玻色愛因斯坦統計:
在量子化KG場中,有
,其后果:
考慮是刻畫兩個全同玻色子的態。
由於,故

由於玻色子交換兩個粒子波函數對稱,故
,故玻色愛因斯坦統計會存在。
由於不等於0,故可以存在玻色愛因斯坦凝聚。
費米狄拉克統計的來源以后講。

4)單粒子態歸一化問題、單粒子態表達式

單粒子態用標記,代表一個單粒子,動量為p。

真空態的歸一化:
在非相對論量子力學中,動量本征態的歸一化

但這樣歸一化的態不是洛倫茲不變的,因為這是一個三度的delta函數,動量空間delta函數的量綱是一個體積的量綱,三度的體積不是洛倫茲不變的。

證明:

由delta函數的一些性質:
,注意最后這個分母后有一階導數。
由這里delta函數的最后一個性質得:



代入得:

=
由於,故
=
E δ ( 3 ) ( p q ) = E δ ( 3 ) ( p q ) ,故 E δ ( 3 ) ( p q ) 才是洛倫茲不變的,而delta函數不是洛倫茲不變的。得證。

故之前的歸一化方案不行,故規定歸一化條件:

Ep= p 2 + m 2 代表動量為p的單粒子態的能量,以后用Ep代替Wp。但人們習慣上規定加上2,即歸一化條件:

故設單粒子態表達式

此時(這里注意學真空矩陣元的計算:使用升降算符對易關系


,故此單粒子態滿足歸一化條件。

5)場算符的物理意義


湮滅算符作用於真空態為0,故第一項不貢獻。
由前面單粒子態表達式得:場算符作用於真空態的表達式:
(3)
此公式類似於在非相對論量子力學書中,
(4)。
相對論中的能量動量色散關系在非相對論極限下,保留到某階:

故(3)式可以類比(4),認為,即的物理意義(重要,背):場算符作用於真空態,可以認為它在x這個空間點產生了一個粒子。
特別注意(背):在QFT中,和時間永遠不是算符,沒有態這樣一個概念。(由於沒有坐標算符,所以沒有坐標本征態)

在量子場論中就是一個標記,一個坐標。因為場論考慮的是一個無窮大無窮維的系統,故就是一個連續系統的標記而已,刻畫在哪個空間點描述這個場,永遠不會將它上升為算符。而在非相對論量子力學時,x可以作為坐標算符。
對量子場論,從傅里葉展開的意義上來說,QFT中的所有算符都可以由產生湮滅算符構造。
歷史上的混淆是二次量子化:將KG波函數變為算符。因為當討論KG波函數時,出發點是KG方程。?老師沒解釋清楚為什么二次量子化是錯誤的。
寫成這樣是給大家一些概念,怎么理解的物理意義:場算符作用於真空態,可以認為它在x這個空間點產生了一個粒子。


其中的產生算符從左邊作用於真空<0|,故第二項不貢獻。還要計算第一項真空矩陣元,經過計算得:
=

與非相對論量子力學中動量本征態在坐標表象的波函數可以類比,很類似。故這說明前面所說的物理意義是合理的。
現在所討論的理論都是自由場理論,自由場理論也是線性理論,一個場算符作用在真空態上得到一個對許多單粒子態的積分,場算符作用於真空態,可以認為它在x這個空間點產生了一個粒子。
如果引入相互作用,就不是上面這樣,以后再講。

3.海森堡繪景的KG場

1)海森堡繪景中的場算符、場算符的運動方程、共軛動量算符的運動方程、在量子力學水平,場算符依然滿足KG方程

之前都是t=0時量子化,在薛繪景,態是含時,算符不依賴時間。
在海森堡繪景,態不含時間,算符含時間。
之前考慮的都是在t=0時的量子場,現在我們考慮在任意t的KG場,故轉入海森堡繪景。
海森堡繪景的算符定義為:

t=0時,海繪景中的算符和薛繪景的算符相等。
海森堡運動方程:

場算符在海森堡繪景中為:

這門課中大多數時候用的都是海森堡繪景,所以為簡單就沒有在左邊的場算符上加下標H。
對場算符,由海森堡方程得:

計算對易關系,利用
得,

場算符運動方程:
=
回憶在對KG場量子化之前講過,對KG場

同理計算得:共軛動量算符運動方程:

由以上兩個運動方程得:

在量子力學水平,場算符依然滿足KG方程

2)海森堡繪景中KG場中的產生湮滅算符的表達式、海森堡繪景中KG場中的場算符、海森堡繪景中KG場中的共軛動量算符

在海森堡繪景中,產生湮滅算符:

而由知,

由於在KG場的正則量子化一節中推導過,對KG場,,故
,解得:
對上式求厄米共軛得:
海森堡繪景中KG場中的產生湮滅算符的表達式
(5)



由於括號中只有產生湮滅算符是算符,故
=

代入(5)得:


引入4動量:
,得:
海森堡繪景中KG場中的場算符(重要):

這個分解稱為“平面波分解”,因為相因子很像平面波;
正頻部分:,正頻部分總是含有湮滅算符。
負頻部分:,負頻部分總是含有產生算符。

在非相對論量子力學NRQM中,對定態,
,此刻畫一個正頻率解,注意 E = ω
中,由於是大於0的,故稱為正頻部分。而由於,故稱為負頻部分。

海森堡繪景中KG場中的共軛動量算符:
=...

3)負能解問題的解決

之前KG方程的負能解問題在QFT中得到了解決:雖然負頻部分含有產生算符,但對應能量是+Ep的單粒子態(前面幾節已經說了),因為將場算符

作用於真空上會發現得到一個正能態,沒有負能
,故負能問題在QFT得到了解決。(老師原話)
在復KG場,

b\dagger:產生一個反粒子。
可以證明是產生一個反粒子。
在狄拉克場中會講反粒子。
而在實的KG場的場算符表達式中,只有一對產生湮滅算符,故可以認為實的KG場產生的粒子是:它是它自己的反粒子。
負能解問題在QFT中得到了解決是因為在定義了真空后,任何場算符作用於真空上都會得到一個正能激發,不會得到負能激發。

但老師沒解釋為什么將場算符作用於真空上,也許是根據上節將的物理意義:場算符作用於真空上是在空間x處產生了一個粒子,由於是正能激發,所以是正能粒子。

4)時空平移

類似於海森堡繪景中算符的定義式
與時間演化算符有關,可以考慮在某個時間,可以通過一個空間平移算符得到,稱為空間平移:

:總動量算符(三維空間的總的3動量)。
因為這里是在某個時刻,故 ϕ ( x , t ) 中的t不寫。

時空平移:

其中

  • 波粒二象性:海繪景KG場中的場算符:

    其中相因子是波,故是波的屬性;而產生湮滅算符體現了粒子屬性。所以QFT很好地體現了波粒二象性。
5)因果性 其實費曼傳播子寫得最好的是學生友好量子場論,從73頁開始!

定義兩點關聯函數:

:之前講過場算符作用於真空的物理意義:在y時空點產生一個粒子。(我寫的注:注意這里和之前不同的一點是,這里的x、y沒有加矢量符號,故它們是4矢量,故這里是在“時空點”產生粒子,而不是空間點)
這個兩點關聯函數表示在y時空點產生一個粒子,再在x這個點湮滅掉。故兩點關聯函數的物理意義:一個粒子從y時空點傳播到x的一種振幅。

一點關聯函數(其實一點談不上關聯)定義為:
,在KG場論中它等於0,因為在KG理論中, ϕ ϕ ϕ 的對稱性,故這個真空期望值為0.也可以從平面波展開的方法直接證明它等於0.

ϕ ( x ) ϕ ( y ) 都作平面波分解,得:

計算中就是要算真空矩陣元

使用對易關系的方法,最后得:
KG場論中的兩點關聯函數:
(7)

  • 這個兩點關聯函數是洛倫茲不變量(即洛倫茲標量)!

    證明:相因子中是標量積,由狹義相對論知是洛倫茲不變量;
    可以證明是洛倫茲不變量:3度積分測度與4度積分測度之間的關系:
    (6)
    其中是關於 p 0 的階躍函數, p 0 >0時等於1,<0時等於0
    四度動量體積元是洛倫茲不變的,
    由於括號中是標量積,故是洛倫茲不變的,階躍函數也是洛倫茲不變的。故得證(6)是洛倫茲不變量。
    下面證明(6)式成立:

    δ 函數的性質


    由於階躍函數要求大於0的 p 0 才存在,故

    積分后得:

    故這樣就證明了(6)式。

  • 兩點關聯函數只依賴於x-y
    利用時空平移,得:
    = 0 | e i p ^ y ϕ ( x y ) e i p ^ y e i p ^ y ϕ ( 0 ) e i p ^ y | 0
    由於對真空態,總動量為0,總能量為0,即
    ,故=|0>,此式還可以取厄米共軛得另一個公式,故
    兩點關聯函數:

    故兩點關聯函數只依賴於x-y。
a.若x-y是類時間隔,

尋找一個參照系,使得

進行變量替換,由將p替換為E,得:

這個積分在當能量很高時快速振盪;在時間t很大時,這個積分
相位振盪因子。
由於類時間隔是有因果聯系的,以前在相對論量子力學中也得到過這樣的振盪因子,故這里得到振盪因子不是很吃驚。

b.若x-y是類空間隔,

找到一個特殊參照系,使得這兩個點是等時的:

由兩點關聯函數(7)得,

令r的方向為z軸,令p與r的夾角為 θ ,進入球坐標后,計算得:

利用函數的奇偶性,將積分擴展到整個實軸,得到

對這個積分使用圍道積分的技巧,注意分母是多值函數

最后得到:

在r很大時,這個積分是指數衰減的因子,但是這個積分並不嚴格等於0,只是衰減趨向於0.
兩點關聯函數在x-y是類空間隔時,並不等於0;但根據狹義相對論的基本知識,任何信號不能在兩個類空間隔之間傳播,故兩點關聯函數(物理意義是振幅)應該為0;這就是矛盾。那難道是量子場論沒有能力解決因果性嗎?不,因果性在類空間隔不是要求兩點關聯函數本身,而是要求兩個算符在類空間隔是彼此對易的,這是量子場論因果性的要求。

如果兩個事件x、y是類空間隔,則它們是因果獨立,彼此沒影響 。
如果x-y是類空間隔,在4矢量x點的測量(比如測動量)必須和y處的測量彼此不影響(彼此獨立)。所以數學上要求兩個玻色型算符對易,但老師沒講為什么,注意這個條件和“NRQM中的對易則對一個態,兩個力學量可以同時觀測”不同。若取上面兩個算符分別為場算符,得:數學上要求。也可以取上面兩個算符分別為場算符平方和共軛動量算符,注意因果性是一個很強的條件,對任意兩個玻色型算符,如果其自變量間隔是類空的,則兩個算符必須對易。

下面開始驗證量子化的KG場是否滿足上面的對易關系

計算得:

這個結果是一個C數。(C數:復數;Q數:算符)
由前面已經計算出的兩點關聯函數,得:

當是類空時(即當時),總可以通過連續的洛倫茲變換將x-y變為y-x,由於兩點關聯函數是洛倫茲不變量,故兩點關聯函數是一個偶函數,故類空時,
,因果性得到保持。

在類時間隔且t趨於無窮時,計算對易關系:

說明在類時間隔,這兩個點的測量會彼此影響。

4.反粒子

對復KG場論,


,代入上式知,會得到兩個彼此獨立的實KG場。以前講諾特定理時說過,這個理論有U(1)相位對稱性。

由於 ϕ 是復數,故在量子化后不需要它是厄米算符這個條件,故引入 b
復KG場論中的場算符:
(8)
:湮滅一個粒子。
:產生一個反粒子。反粒子:質量和粒子相等,電荷和粒子相反。
會發現

因果性要求(背):1)必須存在反粒子 2)反粒子質量和正粒子質量相等。

證明:因為前面已經證明在KG場論是一個C數,在復KG場論也可以類似證明是一個C數,故

=(9)

由於對於真空,定義,故將(8)代入(9)得:
(我應該自己計算一下,計算中會遇到,因為是產生一個反粒子,是產生一個正粒子;一個粒子的態和反粒子的態的內積顯然為0(老師沒講為什么)),最后計算得(8)式等於0.滿足類空間隔因果性的條件。
但考察
=

計算發現這個對易關系取決於

若要滿足因果性的要求,必須這個對易關系等於0,故從第二項知,因果性要求必須存在反粒子。
還可以證明反粒子和正粒子質量相等:從(9)和兩點關聯函數的定義知,(9)這個對易式等於兩個兩點關聯函數相減,因為
(我不知道此式在復KG場是否成立)
故要求質量相等。
得證。

5.KG傳播子:推遲傳播子與費曼傳播子

因為前面已經證明在KG場論是一個C數,故
=

(因為上面這個公式是KG場論中的,故此節的內容都是KG場論中的傳播子
考慮特殊情況:假設,則

(9.1)
上面公式中是因為前面公式中的減號,而變成了-Ep。也就是說4動量都反號。
(9.2)

下面證明(9.1)等於(9.2)式:
因為
對P0是在實軸的從負無窮到正無窮的積分,復變函數積分:分母上兩個奇點。應繞過這兩個奇點,

習慣上采取這種繞過奇點的方法:
留數定理:


由於關心的是對P0積分,考察被積函數
若取c,則 I m P 0 大於0, x 0 y 0 也大於0,則被積函數指數增長地很厲害,不符合我們的要求。
若取下半平面的圍道,則根據
知,被積函數是指數衰減,所以就不需要考慮無窮遠半圓的圍道,方便計算,故取圍道:

(具體要理解這個積分,還是應復習復變函數)

最后通過留數定理的計算這個積分,就得到:這個積分=,可以發現它等於(9.1)式,這就從9.2推導出了(9.1),說明(9.1)=(9.2)式這個結論是正確的,得證。

推遲傳播子/推遲格林函數

之前的部分就是證明了一個公式:

下面我們正式定義推遲傳播子/推遲格林函數:(其中 θ 是階躍函數)

(12)

由於它稱為'推遲格林函數“,所以顧名思義,要求其只有在才非零,在 x 0 < y 0 時要求它等於0,故引入階躍函數來實現這個要求。


復習經典場論中的格林函數:

考慮在自由KG場有一個外源,

這類似於電動力學中外源與場耦合。
其運動方程:

此運動方程的證明:

若給定初始條件,將外源泰勒展開,在將來某個時刻,問場的構型怎么樣?
可以證明
(10)

格林函數必須滿足的條件:
(11)

老師說這其實也是格林函數的定義。(為什么?)

下面計算

故運動方程得證。


如果將其變到maxwell場,將 ϕ 變成四矢量場 A μ ,將源也變成4矢量場。如果給一個 A μ 的初始條件,可以類似(10)得到在任何時刻 A μ 的值。
經典場論格林函數回顧結束。


回到量子場論,可以驗證推遲格林函數(13)也滿足條件。由於上面這個條件老師之之前說也是格林函數的定義,故這說明這里定義的推遲傳播子(12)式滿足格林函數的屬性,也是一種格林函數。

驗證:
將坐標空間推遲格林函數傅里葉變換到動量空間:

將其代入得:

得:動量空間的推遲傳播子,將此式帶回(13)可以發現推遲格林函數表達式與推遲格林函數定義(12)相同,故驗證結束。
或可以證明:

回顧我們怎么得到推遲傳播子:在計算推遲傳播子定義中(12)式的積分時,對P0的積分沿着實軸,發現兩個奇點,所以必須給出繞開奇點的規則,由於它稱為'推遲格林函數“,所以顧名思義,要求其只有在才非零,在 x 0 < y 0 時要求它等於0。在時進行積分,發現取下半平面的圍道更好計算。最后可以計算得到結果。

費曼傳播子(以后計算費曼圖都是這個)

若圍道取為
,可以發現它對應超前傳播子。

定義費曼傳播子:


圍道:一半是推遲,一半是超前,這樣的后果:如果是推遲傳播子,則只有在x0>y0才不為0,如果是超前傳播子,則只有在x0<y0才不為0;費曼傳播子的優勢是不管x0和y0的次序,它都不為0。
(此圖具體見第17課,但其實沒說清楚為什么)

ε :稱為費曼的 ε 處方prescription。
故現在積分完全沿着實軸,代價是分母上變化了(why?):費曼傳播子:
(14)
當P0等於Ep或-Ep時,分母不為0,故這保證了沒有發散,
ε 具體的值不重要,在算振幅等中會發現結果中沒有 ε

傅里葉變換得到動量空間的費曼傳播子:


由(14)知,動量空間的費曼傳播子(背,重要):

可以驗證費曼傳播子滿足:

,故費曼傳播子滿足格林函數的屬性,也是一種格林函數。或者換句話說,可以驗證

費曼傳播子的一個精確的算符定義(從兩點關聯函數定義):

之前說過推遲傳播子可以通過兩點關聯函數定義,現在對費曼傳播子也可以給出這樣一個定義:


知道,x0大於y0時,說明x0發生的更后,而更后的 ϕ ( x ) 放在真空矩陣元的左邊,故引入編時算符T:x和y誰的時間比較靠后就放在左邊,誰的時間比較前就放在右邊。

編時算符T:這兩個算符對應的自變量x、y,誰的時間比較靠后,誰就放在最左邊。
其中兩點關聯函數:
費曼傳播子取決於x0和y0的時序。
對三個算符,編時算符:
,則

若兩個時間等時,則因為KG場論遵從因果性,如果是兩個時間是等時的,則x-y應該是類空的,對類空間隔,兩個算符對易,即兩個場算符放的次序不重要。

費曼傳播子的應用

考慮正負電子湮滅形成 μ (這是很基本的一個過程), μ 子是比電子重兩百多倍的一個基本粒子,其電荷與電子相同,但質量不同,稱電子為第一代輕子, μ 子為第二代輕子。
時間從下往上走,電子用箭頭表示,電子和正電子相聚在某個時空點,會變成光子,在某個時空點,光子又會變成 μ 子(用雙線代表),樹圖:

計算這樣一個過程,費曼圖規則。
所有樹圖的內線對應的都是(動量空間)費曼傳播子。
光子的費曼傳播子:


與KG場論的費曼傳播子類似。

總結:

給定任何一個自由場論,都可以通過編時算符這個定義來計算兩點關聯函數,從而得到費曼傳播子,在計算散射中很重要。






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