第九講 經典場論


第章

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1.1節 如何構造經典場論

1.








洛倫茲變換矩陣 Λ ν μ 可以用幾個參數來刻畫:

其中是3個轉動參數:

比如(這些矩陣可能寫錯了):



可以用三個參數,它們的組合可以刻畫任何一個轉動。以前學過歐拉角的概念,可以用3個參數來刻畫任何一個轉動。

還有3個boost參數:

洛倫茲boost:一個事件在某個參照系發生,在另一個和它有相對速度的參照系來看這個事件,有相對速度的另外一個參照系叫做洛倫茲boost(其實還是應見SSM中文翻譯書)
對於這樣形式的洛倫茲變換: x μ = Λ ν μ x ν ,其boost變換矩陣為:


v是兩個參照系的相對速度。
引入快度 β
雙曲余弦:
雙曲正弦:
雙曲正切等於雙曲正弦除以雙曲余弦:
,v的取值范圍是0到1, β 的取值范圍是負無窮到無窮。對於低速系統,泰勒展開可以發現:
此時,boost變換矩陣為:



故可以用3個參數來刻畫洛倫茲boost:
故一共用6個參數來刻畫洛倫茲變換。
可以證明:若,則
故洛倫茲變換組成了洛倫茲群。

任何一個普適的洛倫茲變換的性質:

四度間隔不變:



可以得到:

故:

可以證明:洛倫茲變換的逆變換滿足:
驗證:
其中:=(單位矩陣)



洛倫茲變換矩陣的性質:

上列




點積:
,則

點積是洛倫茲標量。
例如,

在殼條件就是指滿足愛因斯坦能量動量關系。若是光子,則其四動量平方為0.

定義洛倫茲張量(即有兩個洛倫茲指標):二階張量:

場的分類:


張量場:
旋量場:

實際上錄課中寫的洛倫茲變換寫錯了。
反正正確的見陳老師高量6-1講義。

無窮小洛倫茲變換見打印講義和群論第五章

2. 對K-G場,構造拉氏量


經過一個E-L方程,會得到:

這個方程與KG方程的區別:
這個方程引入完全是根據類似經典力學來得到的,並沒有在量子力學,沒有引入
所以,在量子場論中二次量子化這個詞是錯誤的,因為我們只量子化一次。

  • KG場拉氏量還可以寫成

    證明:

3.共軛動量密度、哈密頓量密度

經典力學中,
可以推導出廣義動量和勒讓德變換
,注意在哈密頓量中不再用q的導數,而是用廣義動量p。
類比,猜,定義共軛動量密度
,哈密頓量密度:

例子:對KG場,得:



且哈密頓量密度應該是的函數,即,故哈密頓量密度寫成:

哈密頓量密度中每一項都是正定的,故在任何一個時空點,它都大於等於0,哈密頓量密度其實是能量密度,所以這樣的構造是合理的,當 φ = 0 時,基態能量等於零,所以可以認為體系有一個穩定的基態。對於任何一個比較健康的場論,都要求它的哈密頓量密度是正定的,這可以作為我們構造場論的另一個准則,若KG拉氏量中兩項之間是+號,則不會滿足這個准則。

4.動能項,相互作用項

  • KG場拉氏量的特點:關於 φ 最多出現兩次,故拉氏量是二次型。

  • 稱K是動能項,V是相互作用項。
    動能項:類似KG拉氏量中的這種二次型的項。最多是二次型。
    相互作用項:每一項至少含有場的三次型。
  • 若只有動能項,稱為自由場論:量子化后,對應的是無窮多個獨立的諧振子的聯合:
    。這種形式可以精確解。
  • 動能項可以為:

    是刻畫電磁場的拉氏量密度。
    為了保證這一項是標量,故加一個
  • 相互作用項可以為


    ψ 是狄拉克場,A是電磁場。這項是QED中的相互作用項,它有三個場,故有兩個相互作用。
  • 在經典場論中很容易驗證,如果只有動能項,其運動方程是線性方程,如KG方程是線性方程。

    線性方程:如果 φ 是一組解,則它乘一個常數也是一組解。比如KG方程和狄拉克方程都是線性方程。

如果加上相互作用項,則不是線性方程。

5.E-L方程(運動方程)

  • 分析力學中點粒子的EL方程:


    其推導是:



對時空點,變分和求導次序不重要:



由勒讓德變換,得:

類似三維的高斯定理(散度的體積分等於面積分),對四度積分也能用高斯定理:
假設在初始和最終時刻以及在無窮遠邊界處 δ φ = 0 ,則由高斯定理(散度的體積分等於面積分)知,最后的全導數項積分后為0。


最小作用量原理要求其等於0.
由於 δ φ 是任意的,故得到EL方程

  • 對KG場:



    這個KG拉氏量只有一個動能項,是一個自由場論。
    練習:推導復KG場的運動方程

    電磁場的運動方程
  • 若在KG拉氏量中加相互作用項,模型:

    其EL方程

    :耦合常數,無量綱。
  • 量綱:
    作用量等於拉氏量L乘時間,L量綱是焦耳,故

    由於光速c=1,故長度量綱=時間量綱,再由 p = h / λ 得:長度量綱是能量量綱的倒數。故:

    由於(背),故拉氏量密度量綱(重要,背)

    ,注意質量量綱等於能量量綱,且長度量綱是能量量綱的倒數則 μ 量綱等於能量量綱,故KG場的量綱:

    拉氏量知,
    耦合常數

1.2節 對稱性和守恆律

1.

對稱性:在一個對稱性變換下,系統的動力學不變。比如在洛倫茲boost中,maxwell方程形式不變, x μ x μ = Λ ν μ x ν ,6個參數刻畫洛倫茲變換;時空平移是一個4矢量,故時空平移用4個參數描寫。若既有洛倫茲變換和時空平移,則稱為龐加萊變換,10個參數。
一個變換有兩種視角:運動方程不變或拉氏量密度不變(后一條后面會擴展為作用量S不變)

對稱性就是系統在變換下滿足以上兩條中任意一條(即運動方程保持不變或者作用量保持不變)就是有此對稱性。
對lamda phi 4模型拉氏量:

它是洛倫茲不變的,也是時空平移不變的,故它是龐加萊不變的。一個要求:幾乎任何一個合理的物理理論都要求是龐加萊不變的。
這個拉氏量還滿足在變換下不變。
其運動方程

顯然在上面這個變換下也不變。

2)在拉伸和壓縮變換下,會發現系統的拉氏量密度會變,但是這個系統依然具有這個對稱性。故可以將兩種視角中的拉氏量密度不變擴展為作用量S保持不變。
3)系統在洛倫茲變換下從一個時空區域變換到另一個時空區域,


(原因見群論第三章)
拉氏量由於是標量,故滿足

4)下面驗證對lamda phi 4模型,在洛倫茲變換下拉氏量密度不變:

=

  • 這是從復合函數求導,直接求導得,再乘內層導數
  • 表示:的自變量是,故在加一個括號。


代入前面變換的公式,得:

之前洛倫茲變換一節得到:
,其等價於
。故上面公式等於

由於要驗證拉氏量密度保持不變,即要驗證
的變換知,確實滿足。

5)下面驗證對lamda phi 4模型,在洛倫茲變換下運動方程不變:

在洛倫茲變換下

第二行是兩次復合函數求導,其過程類似前面推導的變換時的過程。

故運動方程形式不變。

2.對稱性分類

1)第一種:時空對稱性:

(在坐標變換下,場也要變。)、

2)內稟對稱性:與時空坐標無關

在某個變換下,時空坐標不變,場會改變。

比如、同位旋對稱性、味對稱性、奇異數對稱性、對復KG場:(含義是場是復數),有一種變換:
,在這種變換下拉氏量不變,數學上稱這種對稱性為U(1)對稱性,此對稱性對應電荷守恆。

3)從另一種視角分類:從變換參數的角度分類:


連續對稱性:任何一個變換可以從單位元變換鄰域連續得到,比如洛倫茲對稱性,時空平移,U(1)對稱性(因為 θ 可以從0取到一個很小的值,當 θ 取0時是單位元變換,即不變)。
分立對稱性:對KG場論是分立對稱性,因為無法從單位元鄰域連續得到。

1.3節 諾特定理

1.諾特定理

如果一個系統具有某種連續對稱性(不能是分立),且當運動方程滿足時(即場按照EL方程的方法來演化時),則該系統存在一個相應的守恆流(守恆律)。
守恆流是滿足

2.證明:

變換:
主動變換:系統變。
被動變換:坐標系變。在這門課中坐標系和參照系意義形同。

  • 下面證明nother定理時用被動變換的觀點:(證明過程有一個錯誤)
    在固定的時空點P,考慮P在某個坐標系的坐標為 x μ ,考慮場
    考慮同一個時空點P(P在物理空間是不變的)在另一個變換后的參考系的坐標為,場,由於在新的坐標系,函數依賴一般會改變,所i加一個',場為:

    考察

    此式的物理意義:在同一個時空點,用新的坐標系的場的值減去變換前的場的值。

    第3個等號是用了泰勒展開。
    由於這一項已經有一個,所以可以不用區分f'和f,這是一個近似。故第四個等號成立。
    故,由上面公式得到:

    例子:時空平移

    在被動變換的觀點:


    此式的物理意義:在同一個時空點(物理點),用新的坐標系的場的值減去變換前的場的值。
    知,時空平移后場的值等於變換前的值(原因見群論),故
    代入

    (3)
    而由圖知,
    再泰勒,得:
    ,這與(3)相符。
    時空平移是經典場論中最簡單的一個變換。
  • 被動變換的視角

    由於前一節說,對稱性的一個視角是作用量不變,故


    對於一個內稟操作,由於不涉及時空坐標,則=0,但我們要考慮一個既適用於內稟對稱性,又適用於時空對稱性。
    有公式
    (4)(怎么證明此式?)
    驗證此式:對洛倫茲變換,




    以上推導和狹義相對論有關,不懂。

由(4)得:



由於是在同一個坐標點,故

由於,故

由於滿足EL方程,故=0


由於
故:
(7)
物理上考慮非常大的空間,由於場是滿足運動方程的,故在滿足運動方程時換一個視角,作一個變換,你可以包住任何一個小的時空元(小的四度的時空區域) ,在這個小的時空元中,變分處處為0,故積分號中應為0,這就得到存在一個相應的守恆流(守恆律):

利用和(7)得:守恆流


諾特定理得證。

守恆荷


由高斯定理知散度這一項為0,得:

=

設對守恆流的零分量全空間(不包括時間)積分為Q,由於最左邊等於0,故對任何 t 1 t 2 ,有

,Q不依賴於時間,是一個守恆量,故稱Q(t)=
為守恆荷(或Nother荷):對守恆流的零分量全空間(不包括時間)積分。守恆荷是一個守恆量,不依賴於時間。

3.諾特定理例

1)時空平移變換:


由守恆流公式得:

還可以證明還存在一個守恆流——能量動量張量:
定義能量動量張量:

以前守恆流都是4矢量,可以證明能量動量張量(注意是張量)是一個守恆流:

對此守恆流,定義守恆荷:

由於 ν 可以取0,1,2,3,故守恆荷有4個:
ν = 0 時,
,故 P 0 是總能量。
而當 ν = 0 時,平移變換為
,是時間平移,故時間平移對應的是能量守恆。
所以對哈密頓量的新的理解:哈密頓量是守恆荷,它來源於時間平移對稱性。
ν = i ,類似地可以知道它對應空間平移,

是總動量(指的是三維空間的總的3動量)。

綜合以上,
體系總的4動量=是守恆荷。體系的時空平移對稱性對應能量、動量守恆。

2)內稟變換

守恆流:

對內稟變換,時空坐標不變,故內稟變換的守恆流:

例1:

注意 ϕ 變成 ϕ 是分立變換,不能應用諾特定理。
考慮場的平移變換

其中 α 可以從0到無窮。故,故由得:
,由於 α 是一個常數,不影響流,故可以去掉,故守恆流:

可以驗證它為守恆流:

對一個零質量的場,它的KG方程為
=0. 注意在證明這個等式時用了KG方程,即用了EL方程,而諾特定理中確實說了滿足EL方程時。

例2:U(1)相位對稱性
考慮complexKG場,


我們現在考慮 α 無窮小,則根據 e x 1 + x 得:

之前得到的內稟變換的諾特流公式

並不適用於復KG場,因為上面這個公式推導中假設只有一個獨立場變量,對變分法中如果有多個獨立場變量,應對每個場變分,因為復KG場論中場是復數,認為 ϕ ϕ 是獨立的自由度。故再經過推導得到:U(1)相位對稱性的守恆流:

根據
可以驗證
U(1)相位對稱性的守恆荷:
它稱為電荷,這是因為這個理論很容易引入一個電磁相互作用,光子電磁場會和這個諾特荷相互作用,以后會講。
U(1)相位對稱性導致電荷守恆。 經典場論結束。






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