第九讲 经典场论

第章

第章
1.1节 如何构造经典场论
1.
其中是3个转动参数：
还有3个boost参数：
任何一个普适的洛伦兹变换的性质：
无穷小洛伦兹变换见打印讲义和群论第五章
2. 对K-G场，构造拉氏量
3.共轭动量密度、哈密顿量密度
4.动能项，相互作用项
5.E-L方程（运动方程）

1.2节 对称性和守恒律
1.
2）在拉伸和压缩变换下，会发现系统的拉氏量密度会变，但是这个系统依然具有这个对称性。故可以将两种视角中的拉氏量密度不变扩展为作用量S保持不变。
3）系统在洛伦兹变换下从一个时空区域变换到另一个时空区域，
4）下面验证对lamda phi 4模型，在洛伦兹变换下拉氏量密度不变：
5）下面验证对lamda phi 4模型，在洛伦兹变换下运动方程不变：
2.对称性分类
1）第一种：时空对称性：
2）内禀对称性：与时空坐标无关
3）从另一种视角分类：从变换参数的角度分类：
1.3节 诺特定理
1.诺特定理
2.证明：
守恒荷
3.诺特定理例
1）时空平移变换：
2）内禀变换

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1.1节 如何构造经典场论

1.

洛伦兹变换矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$可以用几个参数来刻画：

其中是3个转动参数：

比如(这些矩阵可能写错了）:



故可以用三个参数，它们的组合可以刻画任何一个转动。以前学过欧拉角的概念，可以用3个参数来刻画任何一个转动。

还有3个boost参数：

洛伦兹boost：一个事件在某个参照系发生，在另一个和它有相对速度的参照系来看这个事件，有相对速度的另外一个参照系叫做洛伦兹boost（其实还是应见SSM中文翻译书）
对于这样形式的洛伦兹变换： $x_{\mu }{}^{\prime }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}_{\nu }$，其boost变换矩阵为：


v是两个参照系的相对速度。
引入快度 $\beta$：
双曲余弦：
双曲正弦：
双曲正切等于双曲正弦除以双曲余弦：
则，v的取值范围是0到1， $\beta$的取值范围是负无穷到无穷。对于低速系统，泰勒展开可以发现：
此时，boost变换矩阵为：



故可以用3个参数来刻画洛伦兹boost:
故一共用6个参数来刻画洛伦兹变换。
可以证明：若，则
故洛伦兹变换组成了洛伦兹群。

任何一个普适的洛伦兹变换的性质：

四度间隔不变：



可以得到：

故：

可以证明：洛伦兹变换的逆变换满足：
验证：
其中：=（单位矩阵）



洛伦兹变换矩阵的性质：

上列




点积：
，则

点积是洛伦兹标量。
例如，

在壳条件就是指满足爱因斯坦能量动量关系。若是光子，则其四动量平方为0.

定义洛伦兹张量（即有两个洛伦兹指标）：二阶张量：

场的分类：


张量场：
旋量场：

实际上录课中写的洛伦兹变换写错了。
反正正确的见陈老师高量6-1讲义。

无穷小洛伦兹变换见打印讲义和群论第五章

2. 对K-G场，构造拉氏量

经过一个E-L方程，会得到：

这个方程与KG方程的区别：
这个方程引入完全是根据类似经典力学来得到的，并没有在量子力学，没有引入 $\hslash$。
所以，在量子场论中二次量子化这个词是错误的，因为我们只量子化一次。

• KG场拉氏量还可以写成
  

  证明：

3.共轭动量密度、哈密顿量密度

经典力学中，
由可以推导出广义动量和勒让德变换
，注意在哈密顿量中不再用q的导数，而是用广义动量p。
类比，猜，定义共轭动量密度
，哈密顿量密度：
。
例子：对KG场，得：



且哈密顿量密度应该是的函数，即，故哈密顿量密度写成：

哈密顿量密度中每一项都是正定的，故在任何一个时空点，它都大于等于0，哈密顿量密度其实是能量密度，所以这样的构造是合理的，当 $\phi =0$时，基态能量等于零，所以可以认为体系有一个稳定的基态。对于任何一个比较健康的场论，都要求它的哈密顿量密度是正定的，这可以作为我们构造场论的另一个准则，若KG拉氏量中两项之间是＋号，则不会满足这个准则。

4.动能项，相互作用项

• KG场拉氏量的特点：关于 $\phi$最多出现两次，故拉氏量是二次型。
• 
  称K是动能项，V是相互作用项。
  动能项：类似KG拉氏量中的这种二次型的项。最多是二次型。
  相互作用项：每一项至少含有场的三次型。
• 若只有动能项，称为自由场论：量子化后，对应的是无穷多个独立的谐振子的联合：
  。这种形式可以精确解。
• 动能项可以为：
  
  是刻画电磁场的拉氏量密度。
  为了保证这一项是标量，故加一个。
• 相互作用项可以为
  
  
  $\psi$是狄拉克场，A是电磁场。这项是QED中的相互作用项，它有三个场，故有两个相互作用。
• 在经典场论中很容易验证，如果只有动能项，其运动方程是线性方程，如KG方程是线性方程。

  线性方程：如果 $\phi$是一组解，则它乘一个常数也是一组解。比如KG方程和狄拉克方程都是线性方程。

如果加上相互作用项，则不是线性方程。

5.E-L方程（运动方程）

• 分析力学中点粒子的EL方程：
  
  
  其推导是：

对时空点，变分和求导次序不重要：

故

由勒让德变换，得：

类似三维的高斯定理（散度的体积分等于面积分），对四度积分也能用高斯定理：
假设在初始和最终时刻以及在无穷远边界处 $\delta \phi =0$,则由高斯定理（散度的体积分等于面积分）知，最后的全导数项积分后为0。
故

最小作用量原理要求其等于0.
由于 $\delta \phi$是任意的，故得到EL方程：

• 对KG场：
  
  
  
  这个KG拉氏量只有一个动能项，是一个自由场论。
  练习：推导复KG场的运动方程
  
  电磁场的运动方程
  
• 若在KG拉氏量中加相互作用项，模型：
  
  其EL方程
  
  ：耦合常数，无量纲。
• 量纲：
  作用量等于拉氏量L乘时间，L量纲是焦耳，故
  
  由于光速c=1，故长度量纲=时间量纲，再由 $p=h/\lambda$得：长度量纲是能量量纲的倒数。故：
  
  由于（背），故拉氏量密度量纲（重要，背）：
  
  由，注意质量量纲等于能量量纲，且长度量纲是能量量纲的倒数则 $\mathrm{\partial }\mu$量纲等于能量量纲，故KG场的量纲：
  
  由拉氏量知，
  耦合常数

1.2节 对称性和守恒律

1.

对称性：在一个对称性变换下，系统的动力学不变。比如在洛伦兹boost中，maxwell方程形式不变， $x^{\mu }\to x{}^{\prime \mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$，6个参数刻画洛伦兹变换；时空平移，是一个4矢量，故时空平移用4个参数描写。若既有洛伦兹变换和时空平移，则称为庞加莱变换，10个参数。
一个变换有两种视角：运动方程不变或拉氏量密度不变（后一条后面会扩展为作用量S不变）

对称性就是系统在变换下满足以上两条中任意一条（即运动方程保持不变或者作用量保持不变）就是有此对称性。
对lamda phi 4模型拉氏量：

它是洛伦兹不变的，也是时空平移不变的，故它是庞加莱不变的。一个要求：几乎任何一个合理的物理理论都要求是庞加莱不变的。
这个拉氏量还满足在变换下不变。
其运动方程

显然在上面这个变换下也不变。

2）在拉伸和压缩变换下，会发现系统的拉氏量密度会变，但是这个系统依然具有这个对称性。故可以将两种视角中的拉氏量密度不变扩展为作用量S保持不变。

3）系统在洛伦兹变换下从一个时空区域变换到另一个时空区域，

（原因见群论第三章）
拉氏量由于是标量，故满足

4）下面验证对lamda phi 4模型，在洛伦兹变换下拉氏量密度不变：

=

• 这是从复合函数求导，直接求导得，再乘内层导数
• 表示：的自变量是，故在加一个括号。

代入前面变换的公式，得：

之前洛伦兹变换一节得到：
，其等价于
。故上面公式等于
。

由于要验证拉氏量密度保持不变，即要验证：
由及的变换知，确实满足。

5）下面验证对lamda phi 4模型，在洛伦兹变换下运动方程不变：

在洛伦兹变换下

第二行是两次复合函数求导，其过程类似前面推导的变换时的过程。

故运动方程形式不变。

2.对称性分类

1）第一种：时空对称性：

（在坐标变换下，场也要变。）、

2）内禀对称性：与时空坐标无关

在某个变换下，时空坐标不变，场会改变。

比如、同位旋对称性、味对称性、奇异数对称性、对复KG场：（含义是场是复数），有一种变换：
，在这种变换下拉氏量不变，数学上称这种对称性为U(1)对称性，此对称性对应电荷守恒。

3）从另一种视角分类：从变换参数的角度分类：

连续对称性：任何一个变换可以从单位元变换邻域连续得到，比如洛伦兹对称性，时空平移，U(1)对称性（因为 $\theta$可以从0取到一个很小的值，当 $\theta$取0时是单位元变换，即不变）。
分立对称性：对KG场论是分立对称性，因为无法从单位元邻域连续得到。

1.3节 诺特定理

1.诺特定理

如果一个系统具有某种连续对称性（不能是分立），且当运动方程满足时（即场按照EL方程的方法来演化时），则该系统存在一个相应的守恒流（守恒律）。
守恒流是满足。

2.证明：

变换：
主动变换：系统变。
被动变换：坐标系变。在这门课中坐标系和参照系意义形同。

• 下面证明nother定理时用被动变换的观点：（证明过程有一个错误）
  在固定的时空点P，考虑P在某个坐标系的坐标为 $x^{\mu }$，考虑场。
  考虑同一个时空点P（P在物理空间是不变的）在另一个变换后的参考系的坐标为，场，由于在新的坐标系，函数依赖一般会改变，所i加一个'，场为：。
  对
  考察
  
  此式的物理意义：在同一个时空点，用新的坐标系的场的值减去变换前的场的值。
  
  第3个等号是用了泰勒展开。
  由于这一项已经有一个，所以可以不用区分f'和f,这是一个近似。故第四个等号成立。
  故，由上面公式得到：
  
  例子：时空平移
  
  在被动变换的观点：
  
  由
  此式的物理意义：在同一个时空点（物理点），用新的坐标系的场的值减去变换前的场的值。
  知，时空平移后场的值等于变换前的值（原因见群论），故
  代入
  
  得（3）
  而由图知，
  再泰勒，得：
  ，这与（3）相符。
  时空平移是经典场论中最简单的一个变换。
• 被动变换的视角
  
  由于前一节说，对称性的一个视角是作用量不变，故
  
  
  对于一个内禀操作，由于不涉及时空坐标，则=0，但我们要考虑一个既适用于内禀对称性，又适用于时空对称性。
  有公式
  （4）（怎么证明此式？）
  验证此式：对洛伦兹变换，
  
  
  
  
  以上推导和狭义相对论有关，不懂。

由（4）得：



由于是在同一个坐标点，故

由于，故

由于满足EL方程，故=0
故

由于
故：
（7）
物理上考虑非常大的空间，由于场是满足运动方程的，故在满足运动方程时换一个视角，作一个变换，你可以包住任何一个小的时空元（小的四度的时空区域） ，在这个小的时空元中，变分处处为0，故积分号中应为0，这就得到存在一个相应的守恒流（守恒律）：
。
利用和（7）得：守恒流：


诺特定理得证。

守恒荷

由高斯定理知散度这一项为0，得：

=

设对守恒流的零分量全空间（不包括时间）积分为Q，由于最左边等于0，故对任何 $t_1、t_2$，有
。
即，Q不依赖于时间，是一个守恒量，故称Q(t)=
为守恒荷（或Nother荷）：对守恒流的零分量全空间（不包括时间）积分。守恒荷是一个守恒量，不依赖于时间。

3.诺特定理例

1）时空平移变换：

由守恒流公式得：

还可以证明还存在一个守恒流——能量动量张量：
定义能量动量张量：

以前守恒流都是4矢量，可以证明能量动量张量（注意是张量）是一个守恒流：

对此守恒流，定义守恒荷：

由于 $\nu$可以取0，1，2，3，故守恒荷有4个：
当 $\nu =0$时，
，故 $P^0$是总能量。
而当 $\nu =0$时，平移变换为
，是时间平移，故时间平移对应的是能量守恒。
所以对哈密顿量的新的理解：哈密顿量是守恒荷，它来源于时间平移对称性。
当 $\nu =i$时，类似地可以知道它对应空间平移，

是总动量（指的是三维空间的总的3动量）。

综合以上，
体系总的4动量=是守恒荷。体系的时空平移对称性对应能量、动量守恒。

2）内禀变换

守恒流：

对内禀变换，时空坐标不变，故内禀变换的守恒流：

例1：

注意 $\varphi$变成 $-\varphi$是分立变换，不能应用诺特定理。
考虑场的平移变换

其中 $\alpha$可以从0到无穷。故，故由得：
，由于 $\alpha$是一个常数，不影响流，故可以去掉，故守恒流：

可以验证它为守恒流：

对一个零质量的场，它的KG方程为。
故=0. 注意在证明这个等式时用了KG方程，即用了EL方程，而诺特定理中确实说了满足EL方程时。

例2：U(1)相位对称性
考虑complexKG场，


我们现在考虑 $\alpha$无穷小，则根据 $e^x\sim 1+x$得：

之前得到的内禀变换的诺特流公式

并不适用于复KG场，因为上面这个公式推导中假设只有一个独立场变量，对变分法中如果有多个独立场变量，应对每个场变分，因为复KG场论中场是复数，认为 $\varphi$和 ${\varphi }^{\ast }$是独立的自由度。故再经过推导得到：U(1)相位对称性的守恒流：

根据
可以验证。
U(1)相位对称性的守恒荷：
它称为电荷，这是因为这个理论很容易引入一个电磁相互作用，光子电磁场会和这个诺特荷相互作用，以后会讲。
U(1)相位对称性导致电荷守恒。 经典场论结束。

来自为知笔记(Wiz)