物理學中的群論 第一章 線性代數

 

 

物理學中的群論 第一章 線性代數

聲明：這是我根據黃飛老師上課內容記的筆記（易懂）。教材：馬中騏的物理學中的群論書（不好懂，所以我沒看）。希望對學群論的人有所幫助。

物理學中的群論 第一章 線性代數
聲明：這是我根據老師上課內容記的筆記（易懂）。教材：馬中騏的物理學中的群論書（不好懂，所以我沒看）。希望對學群論的學生有所幫助。
1.1節 線性空間和矢量基
1.矢量基
2.矢量
3.m維線性空間：就是定義了加法和數乘
4.實線性空間：
5.矢量、基矢量的矩陣表示
6.線性空間的維數
1）線性相關、線性無關
2）線性空間的維數
7.線性空間的子空間
8.兩個子空間的和
9.兩個子空間的交
10.兩個子空間的直和
11.線性空間舉例
1）m維函數空間
2）矢量、函數基
1.2節 線性變換和線性算符
1.矩陣
2.矩陣乘法、逆矩陣、非奇異矩陣
3.向量組線性無關與矩陣的秩的關系
4.共軛矩陣：先轉置再取復共軛 （重要）
5.矩陣與對角矩陣對易的結論：
6.線性變換
7.對算符 R(x)不變的空間（簡並子空間）
簡並子空間：
簡並子空間的性質（重要，背這句話）：
對算符 R(x)不變的空間：
基矢的變換、算符R(x)的矩陣形式
態矢的變換的矩陣形式
8.關於算符R的不變空間的一般定義
基矢的變換的矩陣形式：
態矢的變換的矩陣形式
9.線性空間L中關於R的不變子空間L1
1.3節 相似變換
1.基矢的變換
2.變換算符在原矢量基的矩陣表示：
3.態矢的變換
4.算符的變換：
5.相似變換
相似變換的基本關系式：
1.4節 本征矢量和矩陣對角化
本征方程的矩陣表示
算符在自身表象的表示：對角線是本征值
久期方程
久期方程m個根的和與積：
能夠相似變換對角化的充要條件及如何進行相似變換對角化：
聯系兩個所有本征值都相同的非對角矩陣A、B間的相似變換矩陣的方法：
1.5節 矢量內積
1.線性空間兩矢量的內積⟨a|b⟩
2.由矢量基µeµ的內積構造矩陣Ω：
3.任意兩矢量的內積：
4.歸一化矢量、矢量正交、非零正交矢量線性無關
5.算符的矩陣形式
6.共軛算符
1.6節 幺正矩陣、厄米矩陣、正交矩陣、實對稱矩陣
1.幺正矩陣
2.厄米矩陣
3.正交矩陣和實正交矩陣
4.實對稱矩陣
1.7節 矩陣的直乘
直乘的性質
1）直乘矩陣的維數等於因子矩陣維數的乘積。
2）直乘矩陣的跡：
3）設矩陣X1和X2維數相同, 矩陣Y1和Y2維數相同，則：
3）直積后的行列式
4）直積后的導數
5）直積沒有交換律

TOC

這兩章線性代數考試不會考，但非常重要，后面都在用。

1.1節 線性空間和矢量基

1.矢量基

有加法和數乘、一組線性無關的客體

2.矢量

3.m維線性空間：就是定義了加法和數乘

m個基矢量對應m維
簡單來說，線性空間就是矢量空間，線性空間中只有加法和數乘（即只有兩個矢量相加、數乘），但是沒有矢量乘法，也沒有長度這樣的概念。
如果在線性空間中引入點乘，長度、垂直的概念，此時稱為內積空間。

線性空間性質：

4.實線性空間：

5.矢量、基矢量的矩陣表示

矢量矩陣表示：列矩陣

基矢量矩陣表示：
eμ按基矢量、、e1、e2、e3...展開，其第ν個分量為

基矢量矩陣表示是只有一個分量為1，其他分量為零的列矩陣。

6.線性空間的維數

1）線性相關、線性無關

2）線性空間的維數

線性空間的維數：線性空間中線性無關的矢量的最大個數。

m維線性空間中，線性無關的矢量數目不能大於m。

矢量基是線性無關的，m 維線性空間中任何 m 個線性無關的矢量都可以作為一組矢量基。

7.線性空間的子空間

子空間就是在m維線性空間中，有比m維數小的個數的線性無關矢量的所有的線性組合，構成一個n維線性空間。

比如三維空間中，兩個基矢量、ex、ey的所有線性組合構成x-y平面，是二維線性空間，是子空間。

我們通常說的子空間是非平庸的子空間，不包括零空間和全空間。

8.兩個子空間的和

兩個子空間的和：兩個子空間L1和L2的所有矢量及這些矢量的線性組合的集合， 記作L1+L2；

注意L1+L2並非L1和L2的所有矢量的集合，因為除了將這些矢量放在一塊以外，還需要將它們線性組合。例如，、ex、ey構成的子空間和、ex、ez構成的子空間的和是整個三維空間。

9.兩個子空間的交

兩個子空間的交：，

例如，、ex、ey構成的二維子空間和ez構成的一維子空間的交是零空間（零矢量構成的空間）。

10.兩個子空間的直和

兩個子空間的直和：若L是L1、L2的和（即），且下面三個等價的條件中任意一條成立：

則L稱為兩個子空間L1和L2的直和，記作L=L1⊕L2 ，此時L1與L2稱為L中互補的子空間。

1.與L1相補的子空間並不唯一。
2.例如，三維空間可以看成是、ex、ey構成的二維子空間與ez構成的一維子空間的和，也可以說成是這個二維子空間和一維子空間的直和，此時這兩個子空間滿足上述所說的三個條件。也存在是和而不是直和的情況，如兩個二維子空間不可能通過直和組成三維空間。

一個線性空間可以分解為若干個子空間的直和，分解方式並不唯一。

例如，三維空間可以看成是、ex、ey構成的二維子空間與任意一個不在x-y平面內的斜着的任何一個矢量構成的一維子空間的直和。這種分解不唯一。

11.線性空間舉例

反之，H(x)的本征值為E的本征函數總可以表示成的線性組合。

1）m維函數空間

2）矢量、函數基

1.2節 線性變換和線性算符

1.矩陣

行列式：

∑aεabcεads=δbdδcs−δbsδcd

2.矩陣乘法、逆矩陣、非奇異矩陣

矩陣乘法：

逆矩陣：若兩方矩陣相乘為單位矩陣，則這兩矩陣互稱逆矩陣；
方矩陣存在逆矩陣的充要條件：其行列式不為零。
非奇異矩陣：行列式不為零的方矩陣。

奇異矩陣：行列式為零的方矩陣。

m維空間的任一組矢量基，作為列矩陣排列成的m維方矩陣必是非奇矩陣。

矢量基是只有一個分量為1，其他分量為零。應該可以證明上面的結論。

3.向量組線性無關與矩陣的秩的關系

如果把 m 維空間的 n 個矢量作為列矩陣排列成一個 m x n 矩陣，則此 n 個矢量線性無關的充要條件是此矩陣的秩為n。

此定理的證明：
慕課中，n維向量第三講中


推論1的證明：此時，由於r(A)小於等於min{m,n}=n，而n<m，故r(A)<m，故由定理4知，線性相關。
推論2的證明：推論2就是直接由推論1和定理4得到，由於一個向量組不是線性相關就是線性無關，又由推論1得：要使得線性無關，必須m小於等於n，而由於r(A)小於等於min{m,n}=m，故r(A)小於等於m，而由定理4知，當r(A)小於m時，線性相關；故要使得線性無關，只有要求r(A)=m，得證。

4.共軛矩陣：先轉置再取復共軛 （重要）

矩陣行列交換得到的矩陣稱為轉置矩陣；矩陣元素取復共軛得到的矩陣稱為復共軛矩陣；
矩陣元素取轉置和復共軛得到的矩陣稱為共軛矩陣。

5.矩陣與對角矩陣對易的結論：

6.線性變換

變換就是給出一種規則，每個函數都能按此規則變成一個確定的函數。
算符是描寫變換的一種數學符號。

線性變換：線性算符描寫的變換

7.對算符 R(x)不變的空間（簡並子空間）

簡並子空間：

設H(x)的本征值E是m重簡並的，它的本征函數ψμ（這些ψμ作為基函數）架設一個m維函數空間L(即簡並子空間），這些基函數ψμ的線性組合仍然是對應於同一E的本征函數，即該空間中的任意矢量都是H(x)的本征值為E的本征矢量。

簡並子空間的性質（重要，背這句話）：

與 H(x)對易的算符R(x)作用在該空間的任意函數仍是該空間的一個函數，可以表示成函數基的線性組合。

比如，

對算符 R(x)不變的空間：

有以上性質的線性空間L

基矢的變換、算符R(x)的矩陣形式

由於一個基函數ψμ對應一個上面的方程，故基矢的變換的矩陣形式：

矩陣D是算符R(x)在空間L中關於這些基函數{ψμ}的矩陣形式。

態矢的變換的矩陣形式

態矢的變換的矩陣形式：

8.關於算符R的不變空間的一般定義

基矢的變換的矩陣形式：

，...

態矢的變換的矩陣形式

因為
（1）、
（2）
故由（1）、（2）得：

故態矢的變換的矩陣形式：

9.線性空間L中關於R的不變子空間L1

其定義：子空間L1中的任意矢量，經R作用后仍是該子空間的一個矢量，則稱L1為線性空間L中關於R的不變子空間L1。
零空間和全空間是兩個平庸的不變子空間。

1.3節 相似變換

表象變換：重新選取基后的變換

1.基矢的變換

新基矢：

基矢的變換：

通過“什么東西對行指標求和”就能寫出矩陣形式：

逆變換：

矩陣形式：

2.變換算符在原矢量基的矩陣表示：

3.態矢的變換

因為
、
故態矢的變換：

4.算符的變換：

在中代入
、得
（1）；又因為簡並子空間的性質“與 H(x)對易的算符R(x)作用在該空間的任意函數仍是該空間的一個函數，可以表示成函數基的線性組合”，故先將在新基展開成線性組合，，再代入，得
（2）
由（1）、（2）得：


即
重要：

5.相似變換

相似變換：一般的算符R在兩表象中的矩陣表示之間的聯系稱為相似變換。

相似變換的基本關系式：

還有以下兩個公式成立：
（1）
（2）【此公式錯誤】

1.(1)的證明見前面基矢的變換。
2.我認為（2）是錯誤的，因為：
。
3.我認為只有以下公式：
由簡並子空間的性質“與 H(x)對易的算符R(x)作用在該空間的任意函數仍是該空間的一個函數，可以表示成函數基的線性組合”，得：
類似1.2節6.中基矢的變換，有：

1.4節 本征矢量和矩陣對角化

R作用於矢量a上，得到的λa依然在a構成的一維子空間中，由不變子空間的定義知，是不變子空間。

本征方程的矩陣表示

在關於R的一個m維不變空間L中，任意選定矢量基µeµ后，由本征方程得到：

本征方程的矩陣表示：

和華中師范書表象變換一樣

算符在自身表象的表示：對角線是本征值

若能在此關於R的不變空間L中找到R的m個線性無關的本征矢量作為新基（這些新基分別對應R的本征值λμ，則R在此新基中的矩陣表示為對角矩陣，對角元就是本征值。

基矢的變換：

通過相似變換將D(R)對角化，關鍵是找R的m個線性無關的本征矢量。

如何進行相似變換對角化（非常重要）見秦靜線性代數書125至128頁

久期方程

由本征方程的矩陣形式知，本征方程是關於 m 個變量 µaµ的聯立線性方程，有非零解的充要條件是變量的系數行列式為零——久期方程：

久期方程在相似變換中保持不變，本征值與矢量基的選擇無關。

證明：因為

久期方程m個根的和與積：

由久期方程知，久期方程是關於本征值的m次代數方程，有m個根，這m個本征值的和與積分別為：

線性代數可以證，沒時間

能夠相似變換對角化的充要條件及如何進行相似變換對角化：

充要條件：久期方程無重根或有重根但對每個重根有與重數相同的線性無關的本征矢，則由所有線性無關的本征矢易得相似變換矩陣 S。若有重根，但得不到與重數相同的線性無關的本征矢，則D(R)不能通過相似變換對角化。
以上結論的證明及如何進行相似變換對角化（非常重要）見秦靜線性代數書125至128頁，特別是定理4.2.1

聯系兩個所有本征值都相同的非對角矩陣A、B間的相似變換矩陣的方法：

在可以通過相似變換對角化的情況下，求聯系兩個所有本征值都相同的非對角矩陣A、B間的相似變換矩陣的方法：
1）將A、B的相似變換為對角陣，注意所有本征值相同


2）由得
即聯系這兩個所有本征值都相同的非對角矩陣的相似變換矩陣為

1.5節 矢量內積

1.線性空間兩矢量的內積⟨a|b⟩

2.由矢量基µeµ的內積構造矩陣Ω：

其分量：
由矢量基的內積構造的矩陣是特征值都大於零的厄米矩陣

是厄米矩陣的證明：

是正定矩陣（？）的證明：
這里所說的正定是廣義的正定（？但廣義的正定要求對任意向量都成立而不是本征矢量）：

狹義的正定是對實對稱矩陣來說的，實對稱矩陣：如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標），則稱A為實對稱矩陣。但Ω不是實對稱矩陣。
不知道能否由廣義正定矩陣定義來證明它是廣義正定矩陣。沒時間，算了

證明特征值都大於零：


得證。

3.任意兩矢量的內積：

故：

注意，這個結果並不是一般的，這是因為這個結果是矢量基不正交歸一化時的普遍表達式。當矢量基不正交歸一時，矢量內積和列矩陣內積並不相同。

4.歸一化矢量、矢量正交、非零正交矢量線性無關

1）模為1的矢量稱為歸一化矢量；
2）若兩矢量內積為零，稱為兩矢量正交;
3）非零正交矢量線性無關。

5.算符的矩陣形式

未選擇正交歸一矢量基時，矢量基取定后，算符的矩陣形式：

矩陣形式：
這是未選擇正交歸一矢量基時。
若選擇正交歸一的矢量基，

由（5）知，算符R在矢量基{\eμ}中的矩陣表示：

6.共軛算符

在1.2節的4.中，已經定義了共軛矩陣：先轉置再取復共軛。
注意只有這種說法：算符R的共軛算符為R†。

注意以上算符R的共軛算符R†的矩陣形式是在未選擇正交歸一矢量基時。
若在正交歸一的基中，從上面推導知，此時，有結論：算符R的共軛算符R†的矩陣形式等於算符R的矩陣形式的共軛，即X(R†)=D†(R)，其中共軛矩陣D†(R)即對D(R)先轉置再取復共軛。

在1.2節的4.中，已經定義了共軛矩陣：先轉置再取復共軛，這是共軛矩陣的定義，與取不取正交歸一的基無關。

其實就是厄米共軛。

1.6節 幺正矩陣、厄米矩陣、正交矩陣、實對稱矩陣

1.幺正矩陣

幺正矩陣的定義：

幺正矩陣的性質：

以上也就是秦靜線性代數書125至128頁如何相似對角化的過程

2.厄米矩陣

1.2節中說了：非奇異矩陣：行列式不為零的方矩陣，故

3.正交矩陣和實正交矩陣

定義：

性質：

4.實對稱矩陣

定義：實的厄米矩陣稱為實對稱矩陣
由於厄米矩陣：，即先轉置再取復共軛后與R相等，但由於是實的，故取復共軛無效，故：

同時，由於是實的，故也有：
。
即數學中的定義：
實對稱矩陣：如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實數，且矩陣A的轉置等於其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標），則稱A為實對稱矩陣。
實對稱矩陣的性質：

1.7節 矩陣的直乘

直乘的性質

1）直乘矩陣的維數等於因子矩陣維數的乘積。

2）直乘矩陣的跡：

3）設矩陣X1和X2維數相同, 矩陣Y1和Y2維數相同，則：

3）直積后的行列式

4）直積后的導數

5）直積沒有交換律