第一章線性方程組解法

代數學起源於解方程（代數方程）
- 一元一次、一元二次、一元三次、一元四次都有求根公式（通過系數進行有限次加、減、乘、除、乘方、開方得到解），一元五次以上方程就不再有求根公式了（近世代數）
- 二元一次方程組、三元一次方程組、……、n元一次方程組（線性代數研究對象）
- 高等代數——線性代數+多項式理論

1. 線性方程組的同解變形、線性組合、初等變換、消去法

例1

同解變形：用3種同解變形必可化方程組為階梯型
1. 交換兩個方程位置
2. 用非0的數c乘某個方程兩邊
3. 用某個方程的k倍加到另一個方程
線性組合：設是一些方程，稱為的一個線性組合。（由組成的方程組與同解）
- 例2
  
  由於 $(1) \times 2 + (2) = (3)$ ，故第個方程是多余的。
一般，
m個方程n個未知數的線性方程組，系數 $a_{ij}$ 是第個方程第個未知數的系數。 $a_{ij}\in \mathcal{K}$ （數域），此時解也在 $\mathcal{K}$ 中。

數域：復數的子集 $\mathcal{K}$ 對加、減、乘、除（分母不為0）封閉，稱 $\mathcal{K}$ 為數域。如 $\mathcal{Q}$ ， $\mathcal{R}$ ， $\mathcal{C}$ 。

2. 矩陣的有關概念

上述方程組完全由表決定，
- 由行列的數（ $\in \mathcal{K}$ ）組成的表，用圓括號（或方括號）限定，稱為數域 $\mathcal{K}$ 上一個 $m\times n$ 矩陣。
- 矩陣中各行稱為向量（行向量），如 $(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n},b_1)$ 是一個向量，可看作一行的矩陣。同樣的，各列稱為列向量。
- 0向量： $(0,0,\dots,0)$ 。
矩陣的初等變換：必可由初等變換化為階梯形矩陣，稱為方程組的矩陣消元法
1. 交換兩行
2. $c \neq 0$ 乘某行
3. 某行k倍加到另一行

3. 解線性方程組的矩陣消元法

考慮方程組

稱為的系數矩陣，為的增廣矩陣。
- 方程組與它的增廣矩陣 $\bar{A}$ 互相唯一決定。
- 對 $\bar{A}$ 進行初等變換化為階梯形，再解相應的階梯形方程組。
- 例
  
  解：
  
  可見階梯形可以不規則
  改寫為
  令自由取值為，得解
  
  其中，稱為自由未知量，的原方程的無窮多組解。
- 命題：設方程組的增廣矩陣 $\bar{A}$ 化為階梯形后，含個非0行，且最后一個非0行 $\neq (0,\dots,0,a),(a\neq 0)$ ，則方程組有個自由未知量，從而有無窮組解。（稱為矩陣 $\bar{A}$ 的秩：化為階梯形后的非0行數）
- 定理1：用初等行變換把增廣矩陣 $\bar{A}$ 化為階梯形后，記為系數矩陣的秩， $\bar{r}$ 為增廣矩陣的秩（有 $r \leq \bar{r}$ ），則
  A. $r \neq \bar{r}$ 時方程組無解
  此時最后一行 $0x_1+0x_2+\dots+0x_n=1\neq 0$ 無解，表現為 $\bar{A}$ 的階梯形中最后一行為 $(0,0,\dots,0,a),(a\neq 0)$
  方程組有解 $\bf \Leftrightarrow r=\bar{r}$
  B. $r=\bar{r}$ 時方程組有解
  a. $r=\bar{r}<n$ （未知數個數），有無窮組解，此時有個自由未知量
  b. $r=\bar{r}=n$ 時有唯一一組解
通解：設方程組有無窮組解 $r=\bar{r}<n$ ，則有個自由未知量 $x_{r+1},\dots,x_n$ ，令 $(x_{r+1},\dots,x_n)=(c_1,\dots,c_{n-r})$ 得
其中 $c_1,c_2,\dots,c_{n-r}\in F$ 稱為方程組的通解。
通解也可寫成向量式 $(x_1,\dots,x_r,x_{r+1},\dots,x_n)=\dots$
特解：通解中的某個具體的解。
解集合： $A=\{(k_{11}t_1+\dots+k_{1,n-r}t_{n-r}+d_1,\dots)|t_1,\dots,t_{n-r}\in F\}$