MATLAB線性方程組的迭代求解法

作者：凱魯嘎吉 - 博客園
http://www.cnblogs.com/kailugaji/

一、實驗目的

1． 借助矩陣按模最大特征值，判斷解方程組的Jacobi迭代法所得迭代序列的斂散性。

2． 會在Jacobi迭代法所得迭代序列收斂時，用修改后的Gauss-Seidel迭代法。

3． 會逐次超松馳迭代法。

二、實驗原理

三、實驗程序

四、實驗內容

用上面前二種方法求解4元線性方程組的近似解，所選方程組盡可能可以用多種方法求得收斂解。

注：要注意判斷迭代法收斂性，方法之一就是用程序求矩陣的按模最大特征值。

五、解答

1.(程序)

（1）Jacobi迭代法源程序：

function x=jacobi(a,b,x0,n,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;
        for j=1:n
            if j~=i
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
            end
        end
        x(i,1)=(b(i,1)-s)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

（2）Gauss-Seidel迭代法源程序：

function x=gauss_seidel(a,b,x0,n,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;s2=0;
        for j=1:i-1
            s2=s2+a(i,j)*x(j,1);
        end
        for j=i+1:n
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
        end
        x(i,1)=(b(i,1)-s-s2)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

2.(運算結果)

(1)求解線性方程組

>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]';x0=[0 0 0]';
>> x=jacobi(a,b,x0,3,1e-6,50)

x =

    3.0000
    2.0000
    1.0000

（2）Gauss-Seidel迭代法

>>  a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]';x0=[0 0 0]';
>> x=gauss_seidel(a,b,x0,3,1e-6,50)

x =

    3.0000
    2.0000
    1.0000

3.(拓展（方法改進、體會等）)

逐次超松馳迭代法源程序：

function x=SOR(a,b,x0,n,w,tol,m)
x=zeros(n,1);
for k=0:m
    for i=1:n
        s=0;s2=0;
        for j=1:i-1
            s2=s2+a(i,j)*x(j,1);
        end
        for j=i+1:n
                s=s+a(i,j)*x0(j,1);
        end
        x(i,1)=(1-w)*x0(i,1)+w*(b(i,1)-s-s2)/a(i,i);
        if norm(x-x0,inf)<tol
            break;
        end
        x0(i,1)=x(i,1);
    end
end

運算結果：

>>  a=[-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4];b=[1 1 1 1]';x0=[0 0 0 0]';
>> x=SOR(a,b,x0,4,1,1e-6,20)

x =

   -1.0000
   -1.0000
   -1.0000
   -1.0000