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AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解線性方程組時，主要采用前面章節介紹的除法運算符“/”和“\”。如：
- X=A\B表示求矩陣方程AX＝B的解；
- X＝B/A表示矩陣方程XA=B的解。
對方程組X＝A\B，要求A和B用相同的行數，X和B有相同的列數，它的行數等於矩陣A的列數，方程X＝B/A同理。
如果矩陣A不是方陣，其維數是m×n，則有：
- m＝n 恰定方程，求解精確解；
- m>n 超定方程，尋求最小二乘解；
- m<n 不定方程，尋求基本解，其中至多有m個非零元素。
針對不同的情況，MATLAB將采用不同的算法來求解。
恰定方程組
恰定方程組由n個未知數的n個方程構成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫成如下形式：
Ax=b
其中A是方陣，b是一個列向量；
在線性代數教科書中，最常用的方程組解法有：
- 利用cramer公式來求解法；
- 利用矩陣求逆解法，即x=A-1b；
- 利用gaussian消去法；
- 利用lu法求解。
一般來說，對維數不高，條件數不大的矩陣，上面四種解法所得的結果差別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實際的數值計算。MATLAB中，出於對算法穩定性的考慮，行列式及逆的計算大都在lu分解的基礎上進行。
在MATLAB中，求解這類方程組的命令十分簡單，直接采用表達式：x=A\b。
在MATLAB的指令解釋器在確認變量A非奇異后，就對它進行lu分解，並最終給出解x；若矩陣A的條件數很大，MATLAB會提醒用戶注意所得解的可靠性。
如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時，MATLAB將給出警告信息；如果發現A是奇異的，則計算結果為inf，並且給出警告信息；如果矩陣A是病態矩陣，也會給出警告信息。
注意：在求解方程時，盡量不要用inv(A)*b命令，而應采用A\b的解法。因為后者的計算速度比前者快、精度高，尤其當矩陣A的維數比較大時。另外，除法命令的適用行較強，對於非方陣A，也能給出最小二乘解。
超定方程組
對於方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>m。則方程組沒有精確解，此時稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經常遇到的問題是數據的曲線擬合。對於超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）來尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是建立在奇異值分解基礎之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對原超定方程直接進行householder變換的基礎上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；
例 求解超定方程組
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
2.0000
1.0000
A*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
-0.0888
-0.1332
0
可見x1並不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與x1相同。
欠定方程組
欠定方程組未知量個數多於方程個數，但理論上有無窮個解。MATLAB將尋求一個基本解，其中最多只能有m個非零元素。特解由列主元qr分解求得。
例 解欠定方程組
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
-0.0000
0
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
0
-0.0000
0.0000
1.0000
方程組的非負最小二乘解
在某些條件下，所求的線性方程組的解出現負數是沒有意義的。雖然方程組可以得到精確解，但卻不能取負值解。在這種情況下，其非負最小二乘解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負最小二乘解常用函數nnls，其調用格式為：
- X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過程被限制在x 的條件下；
- X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來求解，TOL的默認值為TOL=max(size(A))norm(A,1)eps，矩陣的－1范數越大，求解的誤差越大；
- [X,W]=nnls(A,b) 當x(i)=0時，w(i)<0；當下x(i)>0時，w(i)0,同時返回一個雙向量w。
例 求方程組的非負最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\b
x1=
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b
ans=
1.1258
0.1437
-0.1616
A*x1-b
ans=
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0