數學建模(1)——小劇場入座問題

題目如下：

小劇場一排有\(n\)個座位，由於各排之間空隙較小，如果某座位已有人入座，則入座者必須起身才能讓后來者通過該座位。若一與會者進入會場時該排有若干個座位可供其選擇，則他以相等的概率選擇其中一個座位就坐。

1. 若該排座位只有左側一個入口，所有與會者一旦就坐就不願起身讓后來者通過。記\(E_n\)為該排最終入座人數的期望，試寫出\(E_n\)滿足的遞推關系，並求\(E_n\)；
2. 若該排座位左右兩側均有入口，所有與會者以\(p\)的概率起身讓后來者通過，以\(1-p\)的概率不讓后來者通過（如果與會者第一次選擇了起身，則之后所有選擇都是起身；如果與會者第一次選擇了不起身，則之后所有選擇都是不起身。即概率判定只有一次）。記\(F_n\)為該排最終入座人數的期望，試寫出\(F_n\)滿足的遞推關系。

本題使用遞推法求解，其思想在於，將入座過程划分為第一個人入座，和其他人入座的兩個步驟。

對於第一小題，最簡單的情況是，小劇場一排只有一個座位，即\(n=1\)，此時座位一定能容納一個人，即\(E_1=1\)。如果\(n=2\)，則按照上述的划分步驟，第一個人可能以\(1/2\)的概率選擇坐在第一個位置，這時候如果后面再有人來，后來者也不能坐在里面的第二個位置了；但第一個人也可能以\(1/2\)的概率坐在第二個位置，這時候后面如果再有人來，后來者還可以坐在第一個位置，所以

\[E_2=\frac{1}{2}(1+2)=1+\frac{1}{2}. \]

當\(n=3\)的時候，情況稍微復雜一些。如果第一個人坐在第一個位置，那么這排就不能再坐人，而如果第一個人坐在第二個位置，則這排一定能、也只能再容納一個人。但如果第一個人坐在第三個位置呢？此時，這個人坐下之后，小劇場還有兩個位置是能坐人的，但這兩個位置不一定能坐下兩個人（也許第二個人就坐在了第一個位置），此時我們不需要再討論，因為我們已經計算過小劇場有兩個位置能坐人時的期望\(E_2\)，因此我們能得到以下的算式：

\[E_3=\frac{1}{3}(1+2+E_2)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}. \]

現在我們使用遞推的思想來計算\(E_n\)，這意味着我們在計算\(E_n\)之前，\(E_1,E_2,\cdots,E_{n-1}\)都是已知的，並且規定\(E_0=0\)。現在，一排有\(n\)個座位，第一個人以\(1/n\)的概率坐在每一個座位上，當它坐在第\(k\)個座位上時，第\(k\)個至第\(n\)個座位都不能坐人，也就是只有前\(k-1\)個座位能坐人，這\(k-1\)個座位能坐下的人的期望是\(E_{k-1}\)。於是，我們得到以下的等式：

\[E_n=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{n}\left(1+E_{k-1} \right) \right]=1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nE_{k-1}. \]

求解此式，有

\[E_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}E_{k-1}=1+\frac{n(E_n-1)+E_n}{n+1}, \]

即

\[E_{n+1}-E_n=\frac{1}{n+1},\\ E_n=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}. \]

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第二小題與第一小題稍有不同，加入了兩個變數：一是讓擺放着以\(p\)的幾率為“好人”（這樣它每次都會讓座），二是劇場的通道變成了兩側進入。第一個變化對題目造成的影響是，如果第一個進入的是好人，則此時還有\(n-1\)個座位是可用的；第二個變化對題目造成的影響是，如果第一個進入的人以\(1-p\)幾率為“壞人”並坐在第\(k\)個位置上，剩余的可用座位除了前面\(k-1\)個外，后面的\(n-k\)個也是可用的。

依然用遞推式給出結果，此時\(F_n\)滿足的式子是

\[F_n=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{n}\bigg(1+pF_{n-1}+(1-p)(F_{k-1}+F_{n-k}) \bigg) \right]. \]

此式難以解析給出，可通過計算機模擬給出\(F_n\)的近似數值。