信號和系統的定義
信號（signal）的定義：在數學上表示為，若干個獨立變量的函數。
系統（system）的定義：在數學上表示為，將輸入信號映射為輸出信號的變換。
這個定義很棒，因為可以把我已知的一些代數知識聯系上去。
首先，函數、映射、變換在我腦海中都是一個東西在不同背景的叫法。
由於函數滿足了加法和標量乘法的封閉性，符合向量空間的定義，因此這里信號所表示的函數，以含一個獨立變量為例，其實可以理解為是一個無限維的向量（可以想象每隔一段微小距離就取一個函數值）。
那么系統所做的工作，也就是把輸入向量，轉換為另一個輸出向量。這個工作，基本上可以想象為一種坐標系變換，或者是一個施加變換的動作。如果是有限維的向量，如果這種變換是線性的，顯然就是一個矩陣形式。
總之，信號就是一個映射，系統是一個對映射的映射。
當然這個定義之下有一些工程背景，比如信號函數值可能表示某些物理量，它的因變量可以表示時間、空間等。
這里面有兩個背景我比較喜歡，語音信號（speech signal）和圖像（image）。
語音信號是對時間的函數。
圖像是對兩個空間變量（長、寬）的函數。
連續時間信號與離散時間信號
首先，依照慣例，含一個自變量的信號，都把這個自變量看做是時間 t。
這里有一個連續時間信號（Continuous-Time Signal, CTS）和離散時間信號（Discrete-Time Signal, DTS）的概念。區分的特性是信號的自變量是連續還是離散的。
其實這兩個概念的划分是非常自然的。
信號是一個函數，而連續函數往往出現在自然界和人的頭腦中，只要放在計算機上面，都有一個將連續函數離散化的過程。因此，凡是在自然界或人腦中表達，那么常常是連續時間信號；凡是在計算機上表達，往往是離散時間信號。
有一些約定，對於 CTS，表示為 f(t)；而對於 DTS，表示為 f[n]。前者像數學表達式，后者像數組。
信號功率和能量
功率（energy）和能量（energy）類似於密度和質量的關系，也類似於。
能量其實就是信號在定義域里的一種積分形式，CTS 的能量定義為：
其中 |·| 表示取模運算，確保函數值大於等於 0。即對於復數 a+bi 有：
而對應的 DTS 的能量定義從積分變為求和：
這兩種形式還可以用極限表示，於是最后 CTS 和 DTS 的能量定義為：
能量對於時間取平均，就有了功率的概念：
關於能量和功率的定義，引出了信號的三種分類：
- 能量有限，此時功率必然等於 0。這種信號稱為能量信號（energy signal）。
- 能量無限大，功率有限。這種信號稱為功率信號（power signal）。
- 能量無限大，功率無限大。
參考
- Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab S H. Señales y sistemas[M]. Pearson Educación, 1998.
- Rao K D, Tunga S. Signals and systems[M]. Birkhäuser, 2018.