高次方程解法+高次代數式分解

前言

高次方程在高中階段，也就是在求解過點處的切線、穿根法求解不等式、等比數列中碰到過，不是很多。高次代數式可能出現在導數判斷單調性中。

定義方法

高次方程指次數等於或者大於 \(3\) 次的方程，高中學生主要求解的方程的次數大多是 \(2\) 次的方程，所以對高次方程的求解比較陌生。

與求解高次方程有關的方法主要有：試商法、多項式除法、分組分解法、十字相乘法、換元法等；

切線方程

求曲線\(C:y=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{4}{3}\)經過點\(P(2，4)\)的切線方程；（\(4x-y-4=0\)或\(x-y+2=0\)）

思路：設經過點\(P(2，4)\)的切線方程與曲線相切於點\(P_0(x_0，y_0)\)，則有

\(\begin{cases}y_0=\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3}\\ k=f'(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end{cases}\)

又因為點\(P(2，4)\)在切線方程上，則有\(4-(\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0)\)

整理得到，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)警示，此處有多個難點：試商法，多項式除法，分組分解法；

【試商法】：令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，說明方程能分解出因子\(x_0\)，本題目中顯然不成立；再令\(x_0=1\),上述方程不成立，說明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，說明方程能分解出因子\(x_0+1\)；這樣\(x_0^3-3x_0^2+4\)\(=(x_0+1)\)\((x_0^2+bx_0+c)\)(\(b\)，\(c\)是常數，待定)，這樣做的目的是為了降次；

【分組分解法】：由試商法可以指導我們的分組分解的方向，

如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)\)

\(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0\)；

【多項式除法】：如圖所示，

即\((x_0+1)(x_0-2)^2=0\)，解得\(x_0=-1\)，或\(x_0=2\)

當\(x_0=-1\)時，切點為\((-1，1)\)，\(k_1=1\)，切線方程為\(x-y+2=0\)；

當\(x_0=2\)時，切點為\((2，4)\)，\(k_2=4\)，切線方程為\(4x-y-4=0\)；

等比數列

【2021屆高三文科資料用題】設數列 \(\{a_{n}\}\) 是等比數列， 前 \(n\) 項和為 \(S_{n}\)， 若 \(S_{3}=3a_{3}\)， 則公比 \(q\)=______________.

法1： 分類討論法，針對 \(q\) 分類討論如下：

當 \(q\neq 1\) 時， 由題意得到， \(\cfrac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=3a_{1}q^{2}\)，

即 \(1-q^{3}=3q^{2}-3q^{3}\)，整理得 \(2q^{3}-3q^{2}+1=0\)，

[備注：接下來可以使用試商法，得到\(q=1\)為其一個根，另外還可以使用多項式除法求解剩余的因式，此處我們往往可以降低難度，使用初中的因式分解法]

則\(2q^{3}-2-3q^{2}+3=0\)，即\(2(q^{3}-1)-3(q^{2}-1)=0\)，則\(2(q-1)(q^2+q+1)-3(q-1)(q+1)=0\)，

即\((q-1)(2q^2-q-1)=0\)，即\((q-1)^2(2q+1)=0\)，

解得 \(q=-\cfrac{1}{2}\)，或 \(q=1\)(舍去)；

當 \(q=1\) 時，即 \(S_{3}=3a_1=3a_{3}\)，顯然成立.

故 \(q=-\cfrac{1}{2}\) 或 \(1\)；

法2：使用求和的定義式求解，有效避免分類討論；

由於 \(S_{3}=3a_{3}\)，即 \(a_1+a_2+a_3=3a_3\)，即 \(a_1+a_2-2a_3=0\)，

由於數列 \(\{a_n\}\) 為等比數列，故 \(a_1+a_1q-2a_1q^2=0\)，

即\(2q^2-q-1=0\)， 解得 \(q=-\cfrac{1}{2}\) 或 \(1\)；

三角函數

計算: \(sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)

分析： 由於\(sin3\theta=3sin\theta cos^2\theta-sin^3\theta\)，\(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)，

又由於\(\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}\)，且\(\sin54^{\circ}=\sin(3\times 18^{\circ})\)，\(\cos36^{\circ}=\cos(2\times18^{\circ})\)，

可得\(3sin18^{\circ}cos^218^{\circ}-sin^318^{\circ}=cos^218^{\circ}-sin^218^{\circ}\).

整理得到，\(4sin^318^{\circ}-2sin^218^{\circ}-3sin18^{\circ}+1=0\)，

用試商法嘗試分解\(x=1\)為其一個根，

故可以分解為\((sin18^{\circ}-1)(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1)=0\)，

\(sin18^{\circ}=1\)舍去，由\(4sin^218^{\circ}+2sin18^{\circ}-1=0\)，

得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+4\times4}}{2\times 4}=\cfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\)，

舍去負值，得到\(sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)，

即\(2sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)。

【因式分解案例】令 \(g(x)=\cfrac{e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1}{x^2}\)，求導並加以整理變形；

解析： \(g'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)'\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{(x^2)^2}\)

\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x^2-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2x}{x^4}\)

\(=\cfrac{(e^x-\frac{3}{2}x^2-1)\cdot x-(e^x-\frac{1}{2}x^3-x-1)\cdot 2}{x^3}\)

\(=\cfrac{xe^x-\frac{3}{2}x^3-x-2e^x+x^3+2x+2}{x^3}\)

\(=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}\)

到此，我們的思維大多就停滯了，難點在分子的三次多項式 \(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2\) 的分解上，

此時，用試商法得到，\(x=2\)為其一個根，故分組分解如下，

\(-\cfrac{1}{2}x^3+x+2=-\cfrac{1}{2}x^3+4+x-2\)

\(=-\cfrac{1}{2}(x^3-2^3)+(x-2)=-\cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)\)

\(=(x-2)(-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)\)，

故接上得到，

\(g'(x)=\cfrac{(x-2)e^x-\frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=\cfrac{(x-2)(e^x-\cfrac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3}\)

求解 \(4\cos^4\theta-17\cos^2\theta+4=0\)

解析： 將方程變形為 \((4\cos^2\theta-1)(\cos^2\theta-4)=0\)，

則 \(\cos^2\theta=\cfrac{1}{4}\) 或 \(\cos^2\theta=4\) (舍去)，

則 \(\cos\theta=\pm\cfrac{1}{2}\)，