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單個同余方程
求解形如\(Ax\equiv B(mod\ M)\)的最小正整數解。
il void exgcd(re ll A,re ll B,re ll &D,re ll &x,re ll &y)
{
if(!B) x=1,y=0,D=A;
else exgcd(B,A%B,D,y,x,c),y-=(A/B)*x;
}
il void solve2()
{
re ll A=atk[1],B=a[1],M=p[1],D,x,y,ysn,zsy;
exgcd(A,M,D,x,y);//D=gcd(A,M)
if(B%D) {puts("-1");return;}
x=x*(B/D)%(M/D);
printf("%lld\n",x);
}
解釋一下：
\(Ax\equiv B(mod\ M)\)
\(Ax=My+B\)
\(Ax+My=B\)(正負號不重要）
於是就是解\(Ax+My=B\)這個不定方程。
根據斐蜀定理：\(ax+by=c=k*gcd(a,b)(k\in N^{*})\)
所以必須\(gcd(A,M)|B\)，否則無解。
設\(a>b\)。
當\(b=0,gcd(a,b)=a\),所以此時\(x=1,y=0\)
當\(a>b>0\)時，設\(ax_1+by_1=gcd(a,b),bx_2+(a\ mod\ b)y_2=gcd(b,a\ mod\ b)\)
根據歐幾里德原理，則
\(ax_1+by_1=bx_2+(a\ mod\ b)y_2\)
即\(ax_1+by_1=bx_2+(a-(a/b)*b)y_2=ay_2+bx_2-(a/b)*by_2\)
對應得\(x_1=y_2,y_1=x_2-(a/b)*y_2\)
於是我們就可以一邊求\(gcd\)一邊解這個方程。
當然，注意到跑了\(exgcd\)后解出來的是\(ax+by=gcd(a,b)\)
解同時乘上\(c/gcd(a,b)\)即可。
注意到\(x,y\)的解不止一個，\(x+=b/gcd(a,b),y-=a/gcd(a,b)\)后總是合法。（因為加減的都是\(ab/gcd(a,b)=lcm(a,b)\))。
為了求最小正整數值，我們模這個值即可。
如果要把最后一步套路化，就是\(D=gcd(A,B),x=z*(B/D)\%(M/D)\)
模數互質的同余方程組
用中國剩余定理（孫子定理）解決。
講這玩意兒需要栗子。
在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以\(3\)余\(2\)），五五數之剩三（除以\(5\)余\(3\)），七七數之剩二（除以\(7\)余\(2\)），問物幾何？”
首先，我們假設\(n_1\)是滿足除以\(3\)余\(2\)的一個數。同樣，我們假設\(n_2\)是滿足除以\(5\)余\(3\)的一個數，\(n_3\)是滿足除以\(7\)余\(2\)的一個數。
現在把\(n_1+n_2+n_3\)作為該問題最終解。
則依“兩數相加則模數相加”：
- \(n_1\)除以\(3\)余\(2\)，且是\(5\)和\(7\)的公倍數。
- \(n_2\)除以\(5\)余\(3\)，且是\(3\)和\(7\)的公倍數。
- \(n_3\)除以\(7\)余\(2\)，且是\(3\)和\(5\)的公倍數。
所以，孫子問題解法的本質是對每一個方程，從其它所有模數公倍數中找出符合該方程的解，最終解就是這些解相加。
在求\(n_1\)，\(n_2\)，\(n_3\)時又用了一個小技巧，以\(n_1\)為例，並非從\(5\)和\(7\)的公倍數中直接找一個除以\(3\)余\(2\)的數，而是先找一個除以\(3\)余\(1\)的數，再乘以\(2\)。也就是找解時先求出公倍數模數下的逆元，再用逆元去乘余數。
找逆元和解單個同余方程一樣。
模數不互質的同余方程
用拓展中國剩余定理解決。
還是栗子。
有一同余方程組：(注意到\(x\)沒有系數）
\(x\equiv b_1(mod\ m_1)\)
\(x\equiv b_2(mod\ m_2)\)
則\(x=k_1m_1+b_1=k_2m_2+b_2\)
發現右邊兩個表達式相等可以看做一個方程\(m_1k_1+m_2k_2=b_2-b_1\)
顯然可以拓歐求解\(k_1,k_2\)。
又由斐蜀定理可知，\(m_1x+m_2y=gcd(m_1,m_2)\)
所以\(k_1=\frac{b_2-b_1}{gcd(m_1,m_2)}\)
將\(k_1\)代入\(x=b_1+k_1m_1\)即可得出特解\(x'\)
如果解出特解\(x'\)，則\(x=x'+k*lcm(m_1,m_2)\)。
則\(x\equiv x'(mod\ lcm(m_1,m_2))\)
這個方程的解就是整個方程組的解。