線性同余方程的求解

　　在乘法逆元里我們對於僅滿足b，m互質的情況，我們需要求解的是一個同余方程：b*x≡1（mod m），那么接下來我們就討論一下類似的線性同余方程的求解。

 

線性同余方程：

　　給定整數a，b，m，求一個整數滿足：a*x≡b（mod m），或給出無解。

　　因為未知數的次數為1，所以我們稱之為線性同余方程。

求解過程：

　　a*x≡b（mod m）可以說明a*x-b是m的倍數，所以我們不妨設a*x-b=-y*m，即:a*x+m*y=b 根據Bezout定理證明過程，我們可以知道這個方程有解的條件是：

gcd（a，m）| b 接下來類似於Bezout算法求解：先求出一組特解x₀,y₀滿足a*x₀+m*y₀=gcd（a，m），然后x=x₀/gcd（a，m）*b就是線性同余方程的一個解。

　　方程的通解則是模m/gcd（a，m）與x同余的整數。

 

下面給出一道求解同余方程的裸題：//NOIP 2012  http://www.nyzoj.com:5283/problem/1124

題目

求關於 x 的同余方程 $\mathrm{ax\equiv 1(modb) 的最小正整數解。}$

輸入

• 輸入只有一行，包含兩個正整數 a,b用一個空格隔開。

輸出

• 輸出只有一行，包含一個正整數 x₀，即最小正整數解。輸入數據保證一定有解。

樣例一

input

3 10

output

7

限制與約定

• 對於 40% 的數據，有 2≤b≤1000；
• 對於 60% 的數據，有 2≤b≤50000000；
• 對於 100% 的數據，有 2≤a,b≤2000000000;

---

時間限制：$\mathrm{1s}$

空間限制：$\mathrm{128MB}$

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll a,b,x,y;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0){x=1;y=0;    return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x; x=y; y=z-(a/b)*y;
    return d;
}
int main()
{
    scanf ("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld",(x%b+b)%b);
    return 0;
}