公式法
對於一元二次方程的一般形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)
可以使用韋達公式來求方程的兩個實數解\(x = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，兩根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) ，兩根之積\(x_1 * x_2 = \frac{c}{a}\)，當Δ<0時，得到的是不相等的兩個虛數根，\(x = \frac{-b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\)，一元三次方程有卡爾丹公式和盛金公式。
二分逼近法
對一元二次方程f(x)來說，給定區間[a, b]，如果f(a)<0, f(b)>0，則可以按照下列方法進行逼近：
- 如果\(f(\frac{a+b}{2})= 0\)，則\(\frac{a+b}{2}\)就是零點；
- 如果\(f(\frac{a+b}{2}) < 0\)，則零點在區間\([\frac{a+b}{2}, b]\)上，令\(a = \frac{a+b}{2}\)，繼續從第1步開始判斷；
- 如果\(f(\frac{a+b}{2}) > 0\)，則零點在區間\([a, \frac{a+b}{2}]\)上，令\(b = \frac{a+b}{2}\)，繼續從第1步開始判斷。
通常只要在精度允許的范圍內逼近零時就可以結束二分逼近的過程。二分法的局限在於不能計算復根和重根。
牛頓迭代法
牛頓迭代法的數學原理
在x軸找一點\(x_0\)，過點\(x_0\)垂直於x軸做垂線，交\(f(x)\)於點\(f(x_0)\)，然后再過\(f(x_0)\)點做函數的切線，得到切線與x軸的交點記為\(x_{n+1}\)，一直循環下去，最終會得到根的近似值：
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
此方法也可以用來根號的值，比如要求\(\sqrt c\)的值，可以構造一個函數\(f(x) = x^2 -c\)，求這個函數的右根即是得到$\sqrt c $的值。利用公式，
\[設x_n = t，則 x_{n+1} = t - \frac{t^2 - c}{2t} = \frac{t+\frac{c}{t}}{2} \]
得到的\(x_{n+1 }\)設為新的t，帶入公式，一直等到誤差小於特定的值，再返回答案，得到的t就是開根的值。初始時可以令t=c，便於計算。這段函數的代碼如下：
public static double sqrt(double c) {
if(c < 0)
return Double.NaN;
double err = 1e-15;
double t = c;
while(Math.abs(t-c/t) > err*t)
t = (c/t+t) / 2.0;
return t;
}