定義
若一個大於1的正整數只能被1和它本身整除，則稱該數為質數（或素數），否則稱該數為合數（復合數）。
如果一個正整數\(a\)有一個因數\(b\)，並且\(b\)為質數，則稱\(b\)為\(a\)的質因數。
若有正整數\(a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)\)和\(d\)，並且\(d|a_1,d|a_2,\cdot \cdot \cdot ,d|a_n\)，則稱\(d\)為\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的公因數。其中最大的那一個數叫做\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的最大公因數，寫作\(\gcd(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)\)。
若有正整數\(a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)\)和\(m\)，並且\(a_1|m,a_2|m,\cdot \cdot \cdot ,a_n|m\)，則稱\(m\)為\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的公倍數。其中最小的那一個數叫做\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的最小公倍數，寫作\(\operatorname{lcm}(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)\)。
在整個自然數集合中，質數數量不多，分布稀疏。對於一個足夠大的數\(N\)，不超過\(N\)的質數大約有\(\frac{n}{\ln N}\)個，即每\(\ln N\)個數中大約有一個質數。
引理
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一個大於1的正整數\(a\)的大於1的最小因數一定是質數。
如果\(a\)是質數，則引理顯然成立。
如果\(a\)是合數，則除去1和\(a\)以外，一定還有其它正因數，設那個最小的為\(b\)。
若\(b\)是合數，則\(b\)必然有一個大於1小於\(b\)的因數\(c\)，由\(c|b,b|a\)得到\(c|a\)且\(c<a\)，矛盾。引理得證。
這個引理說明了任何一個大於1的正整數都至少有一個質因數。
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有無限多個質數。
假設質數有有限多個，個數為\(n\)，分別為\(p_1,p_2,\cdot \cdot \cdot ,p_n\)。令\(a=p_1p_2 \cdot \cdot \cdot p_n+1\)。如果\(a\)是素數，因為\(a \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n\)，所以質數最少應有\(n+1\)個，矛盾。如果\(a\)是合數，由引理1得\(a\)一定有一個質因數\(b\)且\(b \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n\)，矛盾。
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若一正整數\(a\)為合數，則存在一個能整除\(a\)的數\(d\)，其中\(2\leqslant d \leqslant \sqrt a\)
由定義，因為\(a\)為合數，所以存在一個能整除\(a\)的數\(m\)，其中\(2\leqslant m \leqslant n-1\)。
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任何大於1的整數\(a\)都能分解成質因數的連乘積，即\(a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)\)
當\(a\)為質數時，\(a=p\)，引理成立。
當\(a\)為合數時，由引理1，\(a\)必然有一個質因數\(p_1\)，使得\(a=p_1 \cdot a_1 (a_1 > 1)\)。如果\(a_1\)為質數，引理成立。否則，重復上述過程，最后必得\(a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)\)。