先說明一下，這是HD的筆記，都只是高中基礎知識，沒有擴展，僅適合完全沒有看過這一部分知識的同學或者想要來復習
虐菜的whk大佬閱讀。同時這里也推薦一個Bilibili的UP主一數，講的確實很好
零點存在性定理
\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，且 \(f(a)\cdot f(b)<0\) ，則\(f(x)\)在區間\((a,b)\)上必存在零點
實際上這個定理中的那個等式就是告訴我們 \(f(a)\) 和\(f(b)\)異號，因為\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，所以在圖像上這兩點的連線必然穿過\(x\)軸，所以必有零點
但是，要注意到其實零點存在性定理只能判斷存在性，但是不能夠讓我們得到有幾個零點
拓展 | 一
在其他條件不變的前提下，我們把\(f(a) \cdot f(b)<0\)改為\(f(a) \cdot f(b) \le 0\)，那么\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上必存在零點
拓展 | 二
在其他條件不變的情況下，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調且\(f(a) \cdot f(b) < 0\)，則\((a,b)\)上必然存在一個唯一零點
實際上這個畫個圖就能很好的理解，既然這個函數在這一段區間內單調，不管他是單調遞增還是單調遞減，\(f(a)\)和\(f(b)\)之間的連線都只可能穿過一次\(x\)軸
這里補充一點，零點是一個能使\(f(x)=0\)的\(x\)，而不是一個有序數對
例題 | 一
零點存在性定理的直接運用
Describe
已知\(f(x)=3ax-2a+1\)，在\([-1,1]\)上有零點，求\(a\)的取值范圍
Solution
這個題實際上一眼分類討論，但是由於我們不知\(a\)的取值范圍，所以分類討論會很麻煩
於是我們使用零點存在性定理來做
滿足題意，只需要\(f(-1) \cdot f(1) \le 0\)即可，因為\(f(1)=a+1,f(-1)=1-5a\)
所以,
這是一個非常經典的二次不等式，解得:\(\{a | a \ge \frac{1}{5} 或 a \le -1 \}\)、
所以看到這種題直接就求端點的積是否小於零即可
例題 | 二
利用零點存在性定理估測零點的大小
Describe
已知三個函數\(f(x)=2^x+x,g(x)=x-2,h(x)=\log_2 x+x\)的零點依次為\(a,b,c\)，則\(a,b,c\)的關系是？
Solution
我們來逐個擊破
f(x)
對於\(f(x)\)，因為\(y=2^x\)和\(y=x\)都是增函數，所以它也是增函數
這個時候代入\(x=0\)，發現\(f(0)=1 > 0\)，所以再代入\(x=-1\)，得到\(f(-1)=- \frac{1}{2}\)，所以我們可以確定\(-1 < a < 0\)
g(x)
對於\(g(x)\)，這是一個一次函數，顯然具有單調性，且為增函數，於是我們可以輕松得出\(b=2\)
h(x)
對於\(h(x)\)，因為\(y=\log_2 x\)和\(y=x\)都是增函數，並且\(y=\log_2 x\)的定義域為\((0,+\infty)\)，所以\(h(x)\)也是增函數且定義域為\((0,+\infty)\)
我們代入\(x=1\)，得到\(h(1)=1 > 0\)，又因為\(h(x)\)的定義域，所以我們可以得到\(0 < c < 1\)
(當然這個地方也可以繼續在0和1之間取值代入得到更小的范圍，但是前面我們得到的a和b的范圍都和這個沒有交集，這范圍就已經足夠了)
比較
綜上，\(-1 < a < 0,b=2,0 < c < 1\)，因此\(a < c < b\)
例題 | 三
稍微綜合一點的運用，但也不是太難
Describe
已知函數\(f(x)=x^2 + \log_2 \left \vert x \right \vert - 4\)的零點$m \in (a,a+1),a \in Z \(，求所有滿足這一條件的a的\)sum_a$
Solution
遇到這種題，先來分析這個函數，我下面稍微分的細一點，以便我以后復習使用
奇偶性
因為這里有真數帶有一個絕對值，所以\(f(x)\)的定義域是 R
我們可以算出\(f(-x) = x^2+log_2 x - 4 = f(x)\)，所以這是一個偶函數
單調性
這個就很好判斷了，在\((0,+\infty)\)單調遞增，在\((-\infty,0)\)單調遞減
Find a
有了上面的兩個性質，我們就很好去找a了
因為這是偶函數，所以我們可以先分析一側，再根據對稱性求出另另一側的a
代入\(x=1\)得\(f(x) = -3 < 0\)，代入\(x=2\)得\(f(x) = 1 > 0\)，所以我們可以得到\(f(x)\)在區間\((1,2)\)上有一個零點（因為是單調遞增所以只有在這個區間內一個）
由對稱性可得\(f(x)\)在區間\((-2,-1)\)上也有一個零點（可以根據下面的圖片理解一下）
所以我們可以得到\(a_1=1,a_2=-2\)，故\(sum_a=a_1+a_2=-1\)