定义
若一个大于1的正整数只能被1和它本身整除，则称该数为质数（或素数），否则称该数为合数（复合数）。
如果一个正整数\(a\)有一个因数\(b\)，并且\(b\)为质数，则称\(b\)为\(a\)的质因数。
若有正整数\(a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)\)和\(d\)，并且\(d|a_1,d|a_2,\cdot \cdot \cdot ,d|a_n\)，则称\(d\)为\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的公因数。其中最大的那一个数叫做\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的最大公因数，写作\(\gcd(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)\)。
若有正整数\(a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)\)和\(m\)，并且\(a_1|m,a_2|m,\cdot \cdot \cdot ,a_n|m\)，则称\(m\)为\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的公倍数。其中最小的那一个数叫做\(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n\)的最小公倍数，写作\(\operatorname{lcm}(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)\)。
在整个自然数集合中，质数数量不多，分布稀疏。对于一个足够大的数\(N\)，不超过\(N\)的质数大约有\(\frac{n}{\ln N}\)个，即每\(\ln N\)个数中大约有一个质数。
引理
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一个大于1的正整数\(a\)的大于1的最小因数一定是质数。
如果\(a\)是质数，则引理显然成立。
如果\(a\)是合数，则除去1和\(a\)以外，一定还有其它正因数，设那个最小的为\(b\)。
若\(b\)是合数，则\(b\)必然有一个大于1小于\(b\)的因数\(c\)，由\(c|b,b|a\)得到\(c|a\)且\(c<a\)，矛盾。引理得证。
这个引理说明了任何一个大于1的正整数都至少有一个质因数。
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有无限多个质数。
假设质数有有限多个，个数为\(n\)，分别为\(p_1,p_2,\cdot \cdot \cdot ,p_n\)。令\(a=p_1p_2 \cdot \cdot \cdot p_n+1\)。如果\(a\)是素数，因为\(a \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n\)，所以质数最少应有\(n+1\)个，矛盾。如果\(a\)是合数，由引理1得\(a\)一定有一个质因数\(b\)且\(b \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n\)，矛盾。
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若一正整数\(a\)为合数，则存在一个能整除\(a\)的数\(d\)，其中\(2\leqslant d \leqslant \sqrt a\)
由定义，因为\(a\)为合数，所以存在一个能整除\(a\)的数\(m\)，其中\(2\leqslant m \leqslant n-1\)。
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任何大于1的整数\(a\)都能分解成质因数的连乘积，即\(a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)\)
当\(a\)为质数时，\(a=p\)，引理成立。
当\(a\)为合数时，由引理1，\(a\)必然有一个质因数\(p_1\)，使得\(a=p_1 \cdot a_1 (a_1 > 1)\)。如果\(a_1\)为质数，引理成立。否则，重复上述过程，最后必得\(a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)\)。