這是一道網上流傳的題目，解這道題給了我2個感悟：
第一，看上去簡單的事情，往往十分復雜，其復雜程度甚至遠遠超過了你的想象；
第二，你絕望的時候，不代表沒有希望。
希望，往往就在遠方，
雖然可能很遠，很遠。
一、聲明
首先聲明，這個題目的解是由 Quora 上的作者 Alon Amit 給出的。 這里按照這個思路進行了轉譯，同時增加了很多內容，其目的是讓初級數學水平的人都盡量能夠理解。
第一次看到這個題目的時候，我以為是一個小學生題目，甚至以為是幼兒園的智力題。然而當試圖算出答案的時候，發現問題不簡單。試驗了一個又一個數字，得出的結論是這道題大概率沒有正整數解。當然這是猜的。最終在網上找到了答案，卻驚奇地發現，其中涉及到的數學知識令人發指，這哪里是小學生的題目，用 Alon Amit 的原話說：
大概99.99995%的人解不開這道題，甚至一大幫頂尖學府里的數學家，如果他正好不是數論專家的話，他們也不會做。
Roughly 99.999995% of the people don’t stand a chance at solving it, and that includes a good number of mathematicians at leading universities who just don’t happen to be number theorists.
如果你對數學不感興趣，你可以直接跳到文章第八段的最后看一眼答案了。
不過如果你感一點興趣，雖然它很難，但我相信你能看得懂。
二、幾個初步結論
書歸正傳，開始解題。
首先，為了方便，我們把原題描述為下面的形式：
（1）
要求的是a、b、c這3個變量的正整數解（因為蘋果鳳梨香蕉的個數總不至於為負數嘛，這也符合一般表述的常識）。
注意，從這個式子中我們可以得出幾個初步結論：
初步結論一：只要有一個解，就有無窮多個解。
為什么呢？我們在第一個分式的分子和分母同時乘上一個正整數t，可以發現：
那么也就是說，只要(a, b, c)是原來方程的解，那么（7a, 7b, 7c）也必然是這個方程的解（這是t=7的情況，t還可以等於其他正整數）。這樣也就等於有了無窮多個解。
初步結論二：如果有解，（a,b,c) 三個未知數的解是對稱的。
也就是說調換a、b、c的位置，不影響結果。
這個是顯而易見的，如果我們得到一個解（a, b, c) ，那么（b, a ,c)也一定是它的解，（c, b ,a)也一定是它的解。
初步結論三：3個變量中不能有0。
這個我們來證明一下。假設某一個變量是0，不妨是a吧（因為是對稱的嘛，誰是0都一樣）。那么原式（1）就變成：
這里顯然b和c不能再有0了，否則等式沒有意義了。
這個方程等同於
這是初中的一元二次方程題目，解出來
很明顯，這是無理數，而兩個整數b和c相除等於一個有理數，並不是無理數。
所以假設不成立，也就是說a、b、c中任何一個數字都不能為0。
初步結論四：求解（a，b，c）的正整數解，實際是求這三個未知數的正有理數解。
這是因為：有理數都可以表現為分數的形式，如果我們得到a、b、c的正有理數的解，那么我們同時把這3個數字乘以它們的公分母，那么我們就得到了3個整數。根據前面的初步結論一，我們很容易知道，這3個整數就是原方程（1）的解。
好了，研究完一些初步結論，我們來開始解剖原題。如果我們在原方程（1）的兩邊同時乘以他們的公分母(b+c)(a+b)(a+c)，然后再移項、合並同類項，雖然有點繁瑣，但我們可以得到下面這個方程：
（2）
這是與原方程（1）等價的，我們求它的解就可以了。
根據前面的結論四，我們只需要求出他們的有理數解。
麻煩來了，這個方程看起來很復雜，而且幾乎無從下手啊。
解高次方程有多難呢？
如果我們碰到一個一次方程，比如
，這個非常容易，這個難度打個比方大約相當於一碗水；
如果我們碰到一個二次方程，比如前面碰到的這個
，這個也有初等數學的方法去解決，也比較簡單，這個難度大約相當於一個小池塘；
但如果我們碰到的是一個3次方程，比如
這個樣子的，不好意思，你一下子就來到了馬里亞納海溝，你面對的是一個非常深奧的題目，而且這個領域有無窮的問題等着去解決；
如果再高次方，那真是。。。太難了。有興趣的話去看看費馬大定理吧（對，就是那個困擾了人類350多年的超級大難題）。
本題，就是一個三次方的方程。
而且，並不是簡單地求解，而是要求出有理數解。
有理數解，是什么意思？怎么個求法？
三、不定方程的基本知識——什么叫特解與通解
求一個方程的有理數解或者整數解，往往是數論方面的題目。而要解出本題，還要用到橢圓曲線。
我們先了解一些簡單的數論知識。
打個比方說，我想求出下面這個方程的解：
（3）
你肯定會說，這有無窮多組解啊， x 也好， y 也好，可能是任何數字。
沒錯。但如果是求整數解呢？似乎也是有無窮多組解。但是，你有沒有什么辦法把所有的解都描述出來呢？
有的。首先我們可以很容易看出（x=2，y=4）是它的一組解，這個呢，叫做“特解”。當然，特解有很多個。
然后我們利用這個“特解”，我們設計一個式子：
，其中t是任意整數。
我們可以很容易地驗證，首先上面這個解是滿足方程（3）的，另外我們還可以發現，上面的這個式子也包括了方程（3）的所有整數解，所以這個解就叫做“通解”。
這就是一次不定方程，又叫丟番圖方程（Diophantine Equation）。
我們不需要太深入了解數論的知識，只要知道“特解”、“通解”的概念就可以了，並且求取這樣方程的“通解”，常常就是從一個“特解”入手的。
剛才解的是一次的丟番圖方程，然而我們現在面對的方程（2），是3次的。
四、神奇的“降維”操作——3元變2元，曲面變曲線
不得不說，后面的變化，確實有點復雜，也很有些難度。但總的來說，如果暫時不考慮其“所以然”的話，“知其然”還是大致可以做到的。
在現代數學，有一個分支，叫”代數幾何學“（algebraic geometry），注意這個不是中學學習的代數和幾何，而是研究的代數和幾何之間相互關聯對應問題的學科。
其中，就有一個重要的理論，是發現了代數問題在幾何上的對應性，從而可以用”幾何“的方法來解決”代數“的問題。說得直白一點，就是我們遇到一個無法下手的代數方程的時候，我們或許可以用”幾何“的方式來解決。
今天，我們正好碰到的就是這個問題。我們再看一眼方程（2）：
（2）
這是一個有着3個變量的方程。它是3維的，對應的是一個曲面；
現在有一個好消息，就是我們可以通過某一種變換，將其變為一個只有x和y兩個變量的方程，一種叫做維爾斯特拉斯典范型（Weierstrass form）的方程，像下面這種形式的：
或是
（注意，此處的a、b、c非方程（2）的變量，這里是方程系數）
並且我們可以描述出（a, b, c） 和（x, y）之間的關系。
，
那么方程（2）就轉化成了：
（4）
而方程（2）中的未知數a, b, c則分別為：
（5）
這樣的好處呢，是把有a、b、c3個變量的方程，轉化成了x、y兩個變量的方程。（用專業術語說，其實是把一個三維平面“映射”到了一條二維曲線上）
還有一個重大的好處，就是方程（4）是一個橢圓曲線的方程。
現在的問題轉化為：我們只需要解方程（4）的有理數解，然后就可以根據上述公式對應地計算出a、b、c。
你看到這里可能覺得像是在變戲法，但其實真不是。推導的過程非常復雜，這里就暫時不寫出來了。好在我們驗證它對不對還是比較方便的。
運用一些技巧，我們可以發現（x= -100, y=260）是方程（4）的一個“特解”。雖然這個過程也有點復雜，但好歹我們驗證它還是容易的。我們把這兩個數代入方程（4），首先發現它是成立的；再代入到上述等式（5），可以求出
，
，
同時乘以14，得到 a=4, b=-1, c=11，代入到
，發現果然等於4。
不過這個里面有個負數，肯定是不行的。
那么我們有沒有辦法通過這樣一個“特解”，來找到更多的“特解”呢？如果我們找到更多的特解，會不會最終就能夠讓a、b、c變為正數呢？
我們試一下吧。
五、雙有理等價——通過2個有理數解尋找3次方程的第3個有理數解
我們先來看一下3次方程，如果一個有理數系數的3次方程，我們知道其中的2個有理數解，我們有沒有辦法找出它的第3個有理數解？
那當然是可以的。假設我有一個3次方程
，其中p、q、r都是有理數，我有它的2個有理數解。
那么它一定可以表示為
，其中x1、x2、x3，分別是3個方程的根。我在知道x1和x2的情況下，是可以通過用多項式除法來求出x3。怎么個操作法呢？我們來看個例子：
假設我們有這樣一個方程
，我們知道x1 = 1，以及x2 = 2是它的兩個解，那么等號左邊實際是包含了（x-1）和（x-2）這兩個因式，所以我們用類似除法的方法來計算一下（僅僅用每一項的系數即可）：
等號左邊的多項式對應的系數是（1 -6 11 -6），（x-1）對應的系數是（1， -1）
除下來我們就可以得到
，繼續拿右邊括號的多項式除以（x-2）
於是我們得到
，這樣第三個根就是 x = 3 。
通過上面的操作我們可以看出，所有的操作都是加減乘除的操作，在系數和已知的兩個根都是有理數的情況下，在沒有無理數參與、也沒有開根號、取對數等操作的前提下，這第三個根必然也是有理數。
回到我們的原題。
沒錯，你一定發現了，我們現在並沒有2個根，我們只有一個根（x = -100，y = 260），那怎么辦呢？我們可以把它當作是2個根（也就是“重根”，在幾何上可以理解為兩個點無限接近），然后通過它來找出第三個根。再通過其中兩個根，再找出不同的其他根，如此往復。
要理解這個事情，我們得回到圖形上來，也就是幾何方法。
六、目標函數——橢圓曲線
我們現在要解的是方程（4），我們要找出它的有理數點，並且我們要讓a、b、c成為整數，現在我們已知（x = -100, y = 260）是一個特解。
我們先將它畫出來，看看是什么樣子。由於左邊是y2，這個圖顯然是關於x軸對稱的。畫出來的圖形近看這樣的，就像一條小魚：
不過注意了，這條“魚”的身體跟尾巴有一點點分離，因為在原點的左邊有一小塊區域y2為負值，在實數范圍內沒有意義，所以也就沒有y值。
當然這是近看，如果我們拉遠一點，發現它更像一個”繩結“：
再遠看，其實這個曲線整體是兩根“辮子”：
當然這兩根“辮子”是伸向了無窮遠。
至於這個近看像小魚、中看像繩結、遠看像辮子的曲線為什么叫“橢圓曲線”，這是因為它的一些數學性質跟橢圓、拋物線等曲線有相同的地方，所以一起被歸到了橢圓曲線的類別。這是題外話，我們不需要太關注。
七、雙有理等價的幾何表示
那么我們前面所提到的雙有理等價（就是通過2個有理點，尋找第三個有理點），在圖形上面是什么意思呢？
我們來看下圖：假設P1、P2是曲線上的兩個有理點（即橫豎坐標都是有理數），我們通過這兩點做連線，那么有兩種情況，一種是跟這個橢圓曲線相交到了第三點（如圖P3)，另一種是比如正好跟y軸平行，因而無論如何也不會跟曲線有第三個交點。后一種情況屬於特殊情況，我們只需要適當規避。我們考慮前一種情況，這時注意了：
因為P1（x1, y1） 、P2（x2, y2）是有理點，所以其斜率
必然也是有理數。也就是說P1、P2所定義的直線
，其系數都是有理數。
我們將
代入到，整理后我們可以發現，這就是一個關於x的3次方程。而它的三個根就對應於P1、P2、P3的3個橫坐標。
既然x1、x2都是有理數，這個方程的系數也都是有理數，根據前面第五塊雙有理等價的結論，可以斷定x3也是有理數，從而y3也是有理數，從而P3也是有理點。
巧妙的是，由於曲線關於x軸的對稱性，P3關於x軸的鏡像點，必然也是有理點（因為僅僅是y坐標乘以-1）。而在代數幾何領域，這個點被稱為“P1+P2”。我們首先不用糾結於加法的重新定義。我們只需要知道這個新的有理點意義非凡，因為用這個“P1+P2"點，我們與P1連線的話（圖中黃線），我們又得到了一個有理點A！也就是說，我們又找到了一個(x, y)的有理數解，也就是又找到了（a, b, c）的整數解。雖然（a, b, c）中仍然有可能有負數，但只要我們不停地迭代下去，就可能可以找到全部為正數的解！
回到我們的題上來。現在我們只有一個有理點（-100，260），我們將其想象為P1與P2無限接近，產生了“重根”，那么由P1、P2所確定的直線將會是橢圓曲線在該點處的切線，而其切線的斜率將是該處的導數（此處對中學的小朋友可能略微有一些超綱）。我們推導一下這個導數的計算過程：
對
兩邊求導，得到
，進而得到
，這個就是斜率k。
將x=-100，y=260代入，得到斜率
。從而經過P點的直線函數為
我們將此y值代入到橢圓曲線中，得到一個看起來有點復雜的方程：
合並同類項，得到這樣一個關於x的三次方程：
這個方程的系數看起來有點大，好在我們知道它有兩個根都是x=-100，我們運用上面提到的多項式除法，兩次除以（x+100）項，最終得到的另一個交點的x值：
代入到直線方程，從而得出該交點為
該點關於X軸的鏡像點即為P+P=2P, 其坐標為
，如下圖。
我們將得到的x和y值代入上述式（5），計算出a、b、c的值，並乘以它們的公分母，得到的整數值分別為：
a = 9499
b = -8784
c = 5165
經過驗算，確實滿足
不過，還是有負數！工作還得繼續。
下面要做的，是把點P和2P連線，再去尋找3P的有理點，再算出a、b、c，再去檢查是否全部正整數。
不過你一定發現，式子越來越復雜，靠手算已經行不通了。
八、尋找終極答案——計算的事情交給PYTHON
用計算機來計算，還是比較方便的。下面是迭代計算的python代碼。
""" Created on Sun Dec 6 13:21:48 2020 @author: jacky """ from fractions import Fraction import math # 多項式的輾轉相除法 def duc(p, poly_nrt): rv = [1, -p[0]] if len(poly_nrt) == 4: result = [1] result.append(poly_nrt[1] - rv[1]) result.append(poly_nrt[2] - result[1] * rv[1]) result.append(poly_nrt[3] - result[2] * rv[1]) elif len(poly_nrt) == 3: result = [1] result.append(poly_nrt[1] - rv[1]) result.append(poly_nrt[2] - result[1] * rv[1]) else: print('Error! Length of coefficients does not match.') return(0) if result[-1] != 0: print('Error! Result is Wrong.') return(0) return result[:-1] #定義加法 def add(p1, p2): #如果p1、p2是同一個點，那么該處斜率是該點的導數。如果不是同一個點，那么通過坐標可以計算出斜率 if p1 == p2: slope = Fraction(1,2) / p1[1] * (3*p1[0]**2 + 218*p1[0] + 224) else: slope = Fraction((p2[1] - p1[1]) / (p2[0] - p1[0])) #Function: y - p1[1] = slope * (x - p1[0]) #直線方程的系數（y = kx + b），k、b即為系數 coe_line = [slope, p1[1] - slope * p1[0]] #直線方程代入橢圓方程，計算方程系數 coe_ellipse = [1, 109 - coe_line[0] **2, 224 - 2 * coe_line[0] * coe_line[1], -coe_line[1]**2] res_1 = duc(p1, coe_ellipse) res_2 = duc(p2, res_1) x = -res_2[1] y = (slope * (x +100) +260) * (-1) return ([x,y]) p1 = [-100, 260] p2 = [-100, 260] a=0 b=0 c=0 #循環數 k=2 #尋找到a、b、c全部大於零為止 while not (a>0 and b>0 and c>0): p2 = add(p1,p2) x = p2[0] y = p2[1] a = Fraction(56-x+y, 56-14*x) b = Fraction(56-x-y, 56-14*x) c = Fraction(-28-6*x, 28-7*x) a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) #公分母 common_deno = a.denominator * b.denominator * c.denominator a = a * common_deno b = b * common_deno c = c * common_deno #分子最大公約數 gcd_numerator = math.gcd(math.gcd(a.numerator, b.numerator), math.gcd(a.numerator, c.numerator)) a = a / gcd_numerator b = b / gcd_numerator c = c / gcd_numerator print('循環數 k = ',k) print('a = ',a) print('b = ',b) print('c = ',c) print('驗算結果：',a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)) k+=1
得出的結果是這樣的：
循環數 k = 2
a = 9499
b = -8784
c = 5165
驗算結果： 4
循環數 k = 3
a = 679733219
b = -375326521
c = 883659076
驗算結果： 4
循環數 k = 4
a = 6696085890501216
b = -6531563383962071
c = 6334630576523495
驗算結果： 4
循環數 k = 5
a = 5824662475191962424632819
b = -2798662276711559924688956
c = 5048384306267455380784631
驗算結果： 4
循環數 k = 6
a = 287663048897224554337446918344405429
b = -399866258624438737232493646244383709
c = 434021404091091140782000234591618320
驗算結果： 4
循環數 k = 7
a = 3386928246329327259763849184510185031406211324804
b = -678266970930133923578916161648350398206354101381
c = 1637627722378544613543242758851617912968156867151
驗算結果： 4
循環數 k = 8
a = 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791
b = -2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776
c = 2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465
驗算結果： 4
循環數 k = 9
a = 154476802108746166441951315019919837485664
325669565431700026634898253202035277999
b = 368751317941299998271978115652254748254929
79968971970996283137471637224634055579
c = 437361267792869725786125260237139015281653
7558161613618621437993378423467772036
驗算結果： 4
當算到9P的時候，所有的a、b、c的結果為正。
至此，我們得到了最終的結果。
不過，a值已經高達80位數（b值79位，c值78位）。80位數是什么概念呢， 就是每8位是1億，要連續說出9個“億”字才能表達，億億億億億億億億億。
這個數字大到什么程度呢，就是假如我跟你的距離是1米，那么這個數字所代表的距離在1053個宇宙之外（一個宇宙的直徑據估算是930億光年）。注意，是10的53次方個。
如果不是用數學方法，即使是世界上最快的計算機，也完全不可能用暴力的方法（就是一個數字一個數字地嘗試）得到最終的解。
九、進一步的探索
上面所用的方法就叫“弦切法”，好比你綳了一條弦，不停地在曲線上找第三個交點（有理點）。我們從上面的程序結果可以看出，隨着過程的推進，a、b、c的數值快速增長，而這個80位數的結果，確實也是最小的結果。
此外，想要3者全部為正也並不是容易的事，這當然是跟x、y的取值有關系的。事實上，只有下圖的綠色部分才是a、b、c可以取到正值的位置。看樣子，我們能在第8次迭代（9P）的時候進入這個區域還算運氣不錯了。
你可能會覺得，80位數的結果令人發指。但如果我們把原方程的4替換為178，我們的結果將是幾億位（這意味者屏幕遠遠不能滿足顯示需求）；而如果把4替換為896，那么結果將是萬億位的。
我們上面用到的計算橢圓曲線kP的算法，在現代密碼學方面有着極其重要的應用（也就是正向的計算很容易，反向的計算非常困難）。橢圓曲線加密算法稱為三大加密算法之一，著名的、穩定運行十余年的比特幣就是采用的橢圓曲線加密算法。
十、說明及感悟
最后，我想讀者中可能還是有不少存疑，即：
1、為什么我們可以在第四部分做那樣的變換，把a、b、c的方程變換成了x、y的橢圓曲線？
2、到底通過什么方式找到（-100，260）這個橢圓曲線的特解？
3、為什么我們最終這個80位的解就是最小解？
這些都是本文沒有解決的問題。因為這些都是很龐大的問題，本人爭取以后能給出容易理解的答案。
但幸好，就本題而言，首先我們找到了解（這是根本性的），其次我們確實了解了整個求解過程，並對其內在邏輯有了全面的認識。
最后的感悟：
解這個題目，有一種以為到樓下打個醬油，結果卻到大海上繞了一圈的感覺，差一點找不到回來的路。
然而數學之美，正在於她以極其精確的方式，告訴了你正確的方向。
最后，恭喜你，你看完了。
Quora上Alon Amit的英文解答鏈接在此：https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit，你可能需要一點科學的辦法才能打開。
本人才疏學淺，解題中可能有不少不夠嚴謹的地方，歡迎指正。