向量和矩陣

向量：m行n列的數表。

從作用上看，它可以進行線性變換（如旋轉），將一個點變換至另一個點。

方陣：n行n列的矩陣。它的行列式記作|A|或者detA  （只有方陣才有行列式）

同型矩陣：對應的行數和列數相等

矩陣的相等：首先是同型矩陣，其次每個對應元素相等。  稱為A=B

比較特殊的矩陣：

1.  主對角線元素為1，其余為0，稱為單位矩陣，記作E

2.  主對角之外元素都為0，稱為對角矩陣，記作Λ。  單位矩陣是特殊的對角矩陣

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[1,-2,0]這樣的數表稱為向量，包含行向量和列向量，n維向量代表其包含元素個數。

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矩陣的加法：對於同型矩陣，每個對應元素相加。就是矩陣相加。

矩陣的乘法：矩陣乘一個數k，矩陣的每個元素都要乘以k。

向量的相加：行向量只能與行向量相加，列向量相同。

向量的數乘：向量A乘一個數k，則向量的每個元素（分量）都要乘以k。

向量的內積：向量相乘，記作(A,B) 。向量的內積是對應分量的乘積的和。是一個數。

A=[1,2,3]  B=[2,3,4]

則(A,B)=1*2+2*3+3*4=20.

矩陣與向量相乘：矩陣A與向量x相乘，做法就是讓矩陣的每一行元素分別與向量x做內積。

|a₁₁ a₁₂ a₁₃|   *     [x1]   =  [a₁₁*x1+a₁₂*x2+a₁₃*x3]

|a₂₁ a₂₂ a₂₃|　　  |x2|       [a₂₁*x1+a₂₂*x2+a₂₃*x3]

　　　　　　　　 [x3]

這一項可能 比較難以理解，可以借用線性方程組來理解：

|a₁₁x₁+a₁₂x₂+.......+a_1nx_n=b₁

|a₂₁x₁+a₂₂x₂+.......+a_2nx_n=b₂

.......

|a_n1x₁+a_n2x₂+.......+a_nnx_n=b_n

對於這個線性方程組，它的系數矩陣，乘以[x₁ x₂ x₃...]^T這個x向量，所得到的就是右側的b_i向量，即Ax=b

一個矩陣乘向量，也可以視為是對一個向量的線性變換。將向量x變換為了向量b

對標量的線性變換：y=kx    

對向量的線性變換：y=Ax

 

矩陣與矩陣相乘：方法同上。矩陣可以視為列向量的組合，處理方法一致。它的意義是對向量的復合變換。

但需要注意的是：

1. AB≠BA  ，矩陣中交換律基本不可用。

2. AB的結果是0，並不意味着其中一定有零矩陣。

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伴隨矩陣：矩陣A的伴隨矩陣A*，它的每一項都是A中對應元素的代數余子式（有正負號），並且位置是轉置的

伴隨矩陣的重要公式：

AA*=A*A=|A|E