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先上運算，再解讀：
一個矩陣乘以一個列向量相當於矩陣的列向量的線性組合。
一個行向量乘以矩陣，相當於矩陣的行向量的線性組合。
方程組：
在二維平面中，相當於找兩條直線的交點。
寫成如下形式：
把方程組看成是Ax=b，相當於是尋找矩陣A的列向量的某個線性組合，使得等於b。可以引申出來：二維平面的任意兩個向量的任意組合可以表達出來整個平面。但是這里的任意兩個向量不可以共線，如果共線，其線性組合也只能表達這條線上的向量。（任意一個向量可以看成是二維平面中的一個點，此點表示的向量就是由原點指向這一點的向量。）
三維的情形：
AX=b，A的每一行乘以X相當於一個平面，則上面的方程組代表求三個平面的交點。一般可以先求任意兩個平面的交線，再用這條交線和第三個平面求交點。
若寫成下面的A的列的線性組合：
相當於求三個三維向量的的某個線性組合，使得結果是第四個三維向量（b）。
可不可以認為任意三個三維向量的線性組合可以表達出整個三維空間中所有的三維向量呢？在三個三維向量不共面的情況下可以這樣認為。如果有一個三維向量是另外兩個三維向量的線性組合，則這三個三維向量共面，此時，這三個三維向量的任何線性組合都在這個面內，不可能表達出整個三維空間。此時如果第四個三維向量（b），不在此面內，則相當於方程組無解。