本文將給出第十二屆全國大學生數學競賽初賽數學類 A 卷的兩道高等代數試題詳細的思路分析及其推廣.
第三大題 設 $A,B$ 均為 2020 階正交矩陣, 齊次線性方程組 $Ax=Bx\,(x\in\mathbb{R}^{2020})$ 的解空間維數為 3. 問: 矩陣 $A,B$ 是否可能相似? 證明你的結論.
思路分析 若矩陣 $A,B$ 相似, 即存在非異陣 $P$, 使得 $B=P^{-1}AP$, 則 $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)$ 且 $|A|=|B|$. 更一般地, $A,B$ 有相同的特征多項式, 從而有相同的特征值, 而矩陣的跡和行列式只是特征多項式中的兩個系數 (可能相差符號). 進一步, 注意到 $A,B$ 都是正交陣 (也是實正規陣), 故由實正規陣的正交相似標准型理論 (復旦高代教材的定理 9.7.3) 可知, $A,B$ 正交相似 $\Longleftrightarrow$ $A,B$ 有相同的特征值 $\Longleftrightarrow$ $A,B$ 相似. 有了這些分析, 不難發現題目的條件應該不足以證明 $A,B$ 有相同的特征值. 因此, 我們可以嘗試證明 $A,B$ 不相似, 而處理這類問題的常用技巧是驗證 $\mathrm{tr}(A)\neq\mathrm{tr}(B)$ 或 $|A|\neq |B|$. 究竟選擇哪一個入手進行證明，這可能會決定我們能走多遠.
同時處理兩個矩陣始終是一個困難的問題. 如果 $A,B$ 乘法可交換, 則 $A,B$ 具有很多的同時性質, 比如同時上三角化、同時正交標准化和同時酉對角化等 (參考復旦高代白皮書的相關章節或者習題課教學視頻的第 6 講). 很遺憾, 題目的條件並沒有 $A,B$ 乘法可交換. 若只把 $A,B$ 中的某一個變成正交相似標准型或酉相似標准型, 則發現起不到很好的化簡效果. 這些思考提醒我們: 應該充分利用正交陣的性質進行化簡才行. $n$ 階正交陣全體構成一個群 (這是正交陣最本質的性質之一), 即正交陣的乘積、正交陣的逆陣和單位陣 $I_n$ 都是正交陣. 利用這一性質, 可以把兩個正交陣 $A,B$ 變成一個正交陣 $A^{-1}B$, 起到充分的化簡作用 (這一技巧在高代白皮書中出現過多次), 然后再利用正交陣特征值的分析就能得到 $|A^{-1}B|=-1$, 從而 $|A|\neq|B|$.
第三大題的證明 由 $A,B$ 為正交陣可知 $A^{-1}B$ 也是正交陣. 由 $A$ 的非異性可知, 線性方程組 $Ax=Bx$ 與 $A^{-1}Bx=x$ 同解, 從而線性方程組 $A^{-1}Bx=x$ 的解空間維數為 3. 換言之, 正交陣 $A^{-1}B$ 關於特征值 1 的幾何重數等於 3. 由於正交陣也是酉陣, 故可復對角化, 從而特征值的幾何重數等於代數重數, 於是 $A^{-1}B$ 關於特征值 1 的代數重數也等於 3. 由正交陣的基本性質可知, 其特征值由實特征值 $\pm 1$ 和模長為 1 的共軛虛特征值組成. 由於 $A^{-1}B$ 的階數為偶數, 共軛虛特征值成對出現, 又特征值 1 為奇數重, 故特征值 $-1$ 也為奇數重, 從而 $|A^{-1}B|=-1$, 即有 $|A|=-|B|$, 因此 $A,B$ 必不相似. $\Box$
以上關於正交陣特征值的討論非常有趣, 類似的討論可以證明以下兩個推廣. 第一個是 19 級高代 II 每周一題第 18 題的推廣, 由復旦數學學院 19 級鄺麒同學給出.
推廣 1 設 $P,Q$ 均為 $n$ 階正交陣, 滿足 $|P|=-1$ 且 $1$ 不是 $Q$ 的特征值. 證明: $1$ 是 $PQ$ 的特征值.
證明 設 $A$ 為正交陣, 則由正交陣的基本性質可設 $A$ 的全體特征值為 $1,\cdots,1$, $-1,\cdots,-1$, $\cos\theta_i\pm\mathrm{i}\sin\theta_i\,(1\leq i\leq r)$, 其中 $\sin\theta_i\neq 0$. 若 $1$ 不是 $A$ 的特征值, 則特征值 $-1$ 有 $n-2r$ 個, 從而 $|A|=(-1)^{n-2r}=(-1)^n$. 回到本題, 由條件可知 $|P|=-1$, $|Q|=(-1)^n$, 從而 $|PQ|=(-1)^{n+1}\neq (-1)^n$. 注意到 $PQ$ 仍為正交陣, 從而 $1$ 必為 $PQ$ 的特征值. $\Box$
第二個是上述第三大題的推廣, 以下是更加一般的形式.
推廣 2 (高代白皮書的例 9.103) 設 $A,B$ 均為 $n$ 階正交陣, 證明: $|A|+|B|=0$ 當且僅當 $n-r(A+B)$ 為奇數.
證明 白皮書上的證明用了正交陣的正交相似標准型理論, 這里我們僅用正交陣的基本性質以及可復對角化來證明. 將兩個正交陣 $A,B$ 變成一個正交陣 $A^{-1}B$, 從而只要證明: 若 $A$ 為 $n$ 階正交陣, 則 $|A|=-1$ 當且僅當 $n-r(I_n+A)$ 為奇數. 由正交陣的基本性質可知, $A$ 的特征值由實特征值 $\pm 1$ 和模長為 1 的共軛虛特征值組成, 於是 $|A|=-1$ 當且僅當特征值 $-1$ 的代數重數為奇數. 由於正交陣也是酉陣, 故可復對角化, 從而特征值的幾何重數等於代數重數, 於是特征值 $-1$ 的代數重數為奇數當且僅當特征值 $-1$ 的幾何重數 $n-r(I_n+A)$ 為奇數, 故結論得證. $\Box$
注 1 由推廣 2 可知, 若階數 $n$ 為偶數, 則線性方程組 $Ax=Bx\,(x\in\mathbb{R}^n)$ 的解空間維數為奇數 $\Longleftrightarrow$ $n-r(A-B)$ 為奇數 $\Longleftrightarrow$ $|A|+|B|=0$ $\Longleftrightarrow$ $|A|=-|B|$, 從而 $A,B$ 必不相似, 這就是第三大題的推廣.
第四大題 稱非常值一元 $n$ 次多項式 (合並同類項后) 的 $n-1$ 次項 (可能為 0) 為第二項. 求所有 2020 次復系數首一多項式 $f(x)$, 滿足對 $f(x)$ 的每個復根 $x_k$, 都存在非常值復系數首一多項式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$, 使得 $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$, 且 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二項系數相等.
思路分析 從前十一屆全國競賽的試題來看, 多項式的內容絕不是考察的重點 (事實上, 多項式也不是高等代數教學中的重點). 題中給出的奇怪條件“首一多項式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二項系數相等”提醒我們: 本題只是借助多項式的外衣, 實際上希望考生通過 Vieta 定理和高等代數中的重要方法來求出多項式 $f(x)$ 所有的復根, 而這個重要方法就是線性方程組的求解理論. 如果考生能想通這一點, 解題過程將變得豁然開朗.
第四大題的解答 設 $f(x)$ 的所有復根為 $x_k\,(1\leq k\leq 2020)$, 則由 $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$ 可知, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 所有復根合並在一起恰好為 $\{x_i\mid 1\leq i\neq k\leq 2020\}$. 由 Vieta 定理可知, $g_k(x)$ 的第二項系數等於 $g_k(x)$ 所有復根之和乘以 $-1$; $h_k(x)$ 的第二項系數等於 $h_k(x)$ 所有復根之和乘以 $-1$; 又 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二項系數相等, 從而得到方程式 $\sum\limits_{i=1}^{2020}a_{ki}x_i=0$, 其中 $a_{kk}=0$, $a_{ki}=1$ 或 $-1\,(\forall\,i\neq k)$. 令 $A=(a_{ki})$, 則 $A$ 為 2020 階方陣, 其主對角元素全為 0, 其余元素為 $1$ 或 $-1$. 令 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_{2020})'$, 則可得線性方程組 $$(*)\quad Ax=0,$$ 只要求出線性方程組 $(*)$ 的解, 就能得到多項式 $f(x)$ 所有的復根, 從而完全確定 $f(x)$. 根據線性方程組的求解理論, 首先需要計算系數矩陣 $A$ 的秩, 為此我們來證明如下的命題.
命題 1 設 $A=(a_{ij})$ 為 $2n$ 階方陣, 其主對角元素全為 0, 其余元素為 $1$ 或 $-1$, 則 $A$ 為非異陣.
證明 這是教學論文 [4] 中的命題 1, 在那里給出了三種證法: 證法一是利用行列式的組合定義進行討論; 證法二是利用加 2 變換進行討論; 證法三是利用模 2 同余進行討論. 限於文章篇幅, 這里不再贅述證明細節, 請讀者自行參考教學論文 [4]. 值得一提的是, 第四大題的官方解答處理這一命題的兩種方法正好是加 2 變換法和模 2 同余法. $\Box$
由命題 1 可知, 第四大題中的 2020 階方陣 $A$ 是非異陣, 從而線性方程組 $(*)$ 只有零解, 即 $x_1=x_2=\cdots=x_{2020}=0$, 於是 $f(x)=x^{2020}$. $\Box$
推廣 3 求所有 $n$ 次復系數首一多項式 $f(x)$, 滿足對 $f(x)$ 的每個復根 $x_k$, 都存在非常值復系數首一多項式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$, 使得
(1) $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$;
(2) $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二項系數相等;
(3) 當 $n$ 為奇數時, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的次數相等.
略解 當 $n$ 為偶數時, 由命題 1 可知線性方程組 $(*)$ 只有零解, 於是 $f(x)=x^n$. 當 $n$ 為奇數時, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的次數相等保證了 $(1,1,\cdots,1)'$ 是線性方程組 $(*)$ 的基礎解系 (這一結論恰好是教學論文 [4] 討論的主題), 於是 $x_1=x_2=\cdots=x_n$, 從而 $f(x)=(x-a)^n$, 其中 $a$ 為任意的復數. $\Box$
總的來說, 第十二屆全國大學生數學競賽初賽數學類 A 卷的兩道高代試題並不算難, 但比較好地考察了學生對線性方程組的求解理論 (包括行列式理論等) 以及正交陣的相關性質 (包括特征值和可復對角化等) 的掌握和運用, 應該算是比較適合的競賽命題.
本文給出如此詳盡的解題思路分析, 也是想提醒讀者: 高等代數中重要思想、方法和技巧的熟練運用, 不僅需要通過做一定數量的習題來實現 (也就是刷題), 更加需要在做每一道習題之前, 認真思考解題思路, 反復衡量各種方法的可行性, 唯有這樣才能真正地提高解題能力和創新能力.
參考文獻
[1] 高代教材: 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻 編著, 高等代數學 (第三版), 復旦大學出版社, 2014.
[2] 高代白皮書: 姚慕生, 謝啟鴻 編著, 學習方法指導書: 高等代數 (第三版), 復旦大學出版社, 2015.
[3] 謝啟鴻, 復旦大學高等代數習題課教學視頻, https://www.bilibili.com/video/av90771191/
[4] 謝啟鴻, 邵美悅, 從一個初等問題看高等代數中的若干技巧, 高等數學研究, 2013, 16(4), 53--55.