前言
三角函數中角的拆分與整合，是個技術活；
為何拆+整
在求解三角函數問題時，常常需要對題目中給定的角進行拆分與整合，如果不做拆分和整合工作，也許能做出問題的答案，但是有些問題會非常麻煩，還有角的拆分和整合技巧，也能體現我們的數學素養的高低和思維的靈活性，尤其在充分恰當的利用已知條件上，體現的淋漓盡致；
法1：不做拆分與整合工作的解法；
將 \(\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{15}{17}\)打開整理，即\(\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}\)，
則聯立平方關系，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{1}{2}\sin\alpha-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha=\cfrac{15}{17}}\\{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)
接下來，轉化為關於\(\sin\alpha\)的二次方程求解即可，思路很清晰，但是運算確實比較難；我算到一半就放棄了；
法2： 采用拆分與整合工作的解法；
因為 \(\alpha\in(\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{5\pi}{6})\)，所以 \(\alpha-\cfrac{\pi}{3} \in(\cfrac{\pi}{6}, \cfrac{\pi}{2})\) 是銳角，\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})>0\)，
\(\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})=\sqrt{1-(\cfrac{15}{17})^{2}}=\cfrac{8}{17}\)，
所以 \(\sin\alpha=\sin\left[(\alpha-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{3}\right]\)將待求角拆分為已知角和特殊角之和，能有效的利用已知條件和已知數據，降低運算和思維的難度。\(\quad\).
\(=\sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\cos\cfrac{\pi}{3}+\cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})\sin \cfrac{\pi}{3}\)
\(=\cfrac{15}{17}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{8}{17}\times\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{15+8\sqrt{3}}{34}\)， 故選 \(D\).
反思總結：兩相比較，你自然就能理解為什么要學習角的拆分和整合了；
何時拆+整
- 三角函數化簡時需要用到拆分與整合；
分析：如果你能注意到\(8=2\times 4\)，則可能想到利用二倍角公式，想辦法將被開方數湊成一個完全平方數的形式，
原式\(=\sqrt{2}\sqrt{1+cos8}+2\sqrt{1-sin8}\)
\(=\sqrt{2}\sqrt{2cos^24}+2\sqrt{sin^24+cos^24-2sin4\cdot cos4}\)
\(=2|cos4|+2\sqrt{(sin4-cos4)^2}\)
\(=2|cos4|+2|sin4-cos4|\)
\(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4\)
反思總結：\(4rad\approx 229^{\circ}\)，終邊在第三象限的后半段，此時\(cos4>sin4\)。
- 三角函數求值時需要用到拆分與整合；
分析：\(\cfrac{sin47^{\circ}-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)
\(=\cfrac{sin(30^{\circ}+17^{\circ})-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)
\(=\cfrac{sin30^{\circ}cos17^{\circ}}{cos17^{\circ}}\)
\(=\sin30^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)。
分析：注意到已知角為一個\(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\)，未知角也是一個\(2\alpha+\cfrac{\pi}{12}\)，
故二者之間的聯系可能是從余、補、半、倍、特的角度建立聯系，
故將已知角二倍得到\(2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=2\alpha+\cfrac{\pi}{3}\)，發現還是和未知角不一樣，故做差就發現，
故\(sin(2\alpha+\cfrac{\pi}{12})=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{4}]\)
\(=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]cos\cfrac{\pi}{4}-cos[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]sin\cfrac{\pi}{4}\)
\(=2sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos\cfrac{\pi}{4}-[2cos^2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-1]sin\cfrac{\pi}{4}\)
\(=\cdots=\cfrac{17\sqrt{2}}{50}\).
備注說明：復雜一些的題目可能需要用到互余、互補、半角、倍角、特殊角中的某兩個以上的角度才可以求解；
- 三角函數證明時需要用到拆分與整合；
配套習題待補充；
常見情形
- 常見的角的拆分：將非特殊角盡可能拆分為含有特殊角的部分；
\(47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}\)；\(8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}\)；
- 常見的互余+互補+倍角+半角， 力求掌握常見的配角技巧；
初中我們需要掌握的互余關系：\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)；
互補關系：\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2\pi}{3}=\pi\)，\(\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{2\pi}{3}=\pi\)，
以上這些都是靜態的角之間的關系，而高中更多的考察的是動態的角之間的關系：
\((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；
\((\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{3\pi}{4}-\theta)=\pi\)；\((\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{2\pi}{3}-\theta)=\pi\)；
\(2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})\)；
\((75^{\circ}+\theta)+(15^{\circ}-\theta)=90^{\circ}\)；\((75^{\circ}-\theta)+(15^{\circ}+\theta)=90^{\circ}\)；
\(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)\)；
\(3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)\)；\(3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)；
\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\(\beta=\alpha-(\alpha-\beta)\)；
\(\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；\(\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}\)；
\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)；\((\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}\)；
\((\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi\)；\((\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi\)；
\(\theta+\cfrac{\pi}{6}=(\theta-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{\pi}{3}\)；\(\theta-\cfrac{\pi}{6}=(\theta+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{3}\)；
\((\theta+\cfrac{5\pi}{6})+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\pi\)；\((\cfrac{2\pi}{3}-\theta)-(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}\)；
技巧引申
其實在三角函數中，有關函數的拆分與整合，也是我們需要注意積累的；比如以下：
\(1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)
\(1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}\)