進入研究室之后做的第一次學習匯報內容，一共分三則敘述，加油打工人！
流形
先說定義。據 Wikipedia - 流形 , 流形被定義為 “可以局部歐幾里得空間化的一種拓撲空間，是歐幾里得空間中的曲線、曲面等概念的推廣”。
對於歐幾里得空間，一般認為標准歐幾里得空間是四維及以上的空間，而我們接觸得最多的其實是二維和三維的歐幾里得空間，也就是我們常見的以平面直角坐標系和空間直角坐標系定義的空間（Wikipedia - 歐幾里得空間 ）。這表明只要滿足”局部可歐幾里得空間化“，便可稱之為“流形”（歐幾里得空間的曲線、曲面等概念是一類特殊的流形）。
再簡單地說，流形可以簡單地視作 “可以通過把許多平直的面折彎粘貼而成的一種空間結構”，這里的 ”平直的面“ 就是我們所說的局部歐幾里得空間。舉例來說，地球表面就可看作是一個流形，各個地區的地圖則為所謂的“局部歐幾里得空間”，合訂成一本地圖集就可以重新拼接出地球表面這一流形。（Wikipedia - 流形）
另一種觀點是，高維空間的對象可以看作是低維流形向高維嵌入得到的。反過來看，高維空間的物體進行降維便可以得到低維流形。比如說，圓是二維空間的一維流形（對於一個給定圓心坐標和半徑的圓來說，它上面的每一個點都可以利用極坐標方程中的一個角度參數確定），同理，球面是三維空間的二維流形。（它在極坐標中僅僅需要兩個角度參數就可以確定球面上任意一點的坐標。）
更一般地，流形也並不一定是連通和閉合的，它也可以是兩個圓、一條拋物線等等。不過，流形有一個突出的特點就是，流形上的任意兩點之間的距離通常不能直接利用歐氏距離衡量（除了平面），而需要遵循流形的幾何約束。一個簡單的例子就是，飛機航線距離不是直接測量兩地之間的直線距離，而是由沿着地球表面的弧線長進行計算得到的。Wikipedia - 流形
給出流形的數學定義：
在 \(R^n\) 空間中，集合元素個數為 p 的光滑向量值函數 h 的零集合，定義了一個維度為 m = n – p 的流形。
舉例來說，對於 \(R^n=3\) 空間中的單位球面，可以由方程 \(h(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1= 0\) 定義，故稱該球面為 \(R^n=3\) 中一個維度為 \(m = n – p = 3 – 1 = 2\) 的流形。
向量場
先說定義，據 Wikipedia - Vector field ,向量場是將空間中每一點均指派到一個向量的映射。
一個簡單的例子，在平面直角坐標系中，任意一點均可以由坐標 (x, y) 確定，下面我們通過一個點坐標來表示向量場中的一個向量。以點 (3, 3) 為例，將該點作為向量的起點，將函數 \(f(x, y) = col(-x,-y)\) 作用於該點，得到點 (-3, -3)，連接這兩個點就得到了向量的方向，而向量的模則由函數 f(x, y) 的作用結果取模得到。通過對平面內所有點均作這樣的操作，便可以得到一個由 f(x, y)表示的向量場。需要注意的是，通常情況下，向量場中的向量模長並不是與實際相符的，而是按照一定比例縮放以使得畫面看起來更加清晰簡潔。
還有一個向量場的實例是利用鐵粉顯形的磁場，這里的鐵粉便可以看作向量場中的每個向量。
給出（余）向量場的數學定義：
流形 M 上的一個 光滑向量場 是一個無限可微的 列 向量函數 f ：\(col[f_1(x), f_2(x), ... , f_m(x)]\)
流形 M 上的一個 光滑余向量場 是一個無限可微的 行 向量函數 w：\(row[w_1(x), w_2(x), ... , w_m(x)]\)
需要注意這里加了修飾詞 “光滑”，因此是特別要求該向量場是無限可微的。
對於一個流形來說，它的表面可以有很多不同的向量場，對其求偏導便可以得到沿各個方向的不同向量場。
分布
特別說明，這里的（合場）分布，是在向量場的概念上進行定義的。據《機器人建模和控制》P184（Mark W.Spong 等著，賈振中 等譯）：
流形 M 上的一個 分布 Δ 是流形 M 上在各點線性獨立的向量場 \(X_1(x) , … , X_k(x)\) 的線性組合：
\[\Delta = span\{X_1(x) , … , X_k(x)\} \]流形 M 上的一個 合場分布 Ω 是流形 M 上在各點線性獨立的余向量場 **W_1(x) , … , W_k(x)$ 的線性組合：
\[\Omega = span\{W_1(x) , … , W_k(x)\} \]
我們知道，兩個線性無關的向量可以組成一個平面的基向量。對於位於流形上任意一點來說，在該點可以存在包含於若干向量場的向量的線性組合，即通過分布 Δ 可以得到流形上每個點附近的一個個子空間。那么這里就有一個問題，是不是成員足夠多的分布就能夠組成一個原來完整的流形呢？，組會上我提出了這個問題。導師和師兄認為這樣說沒問題。不過據師兄說，這個說法在某些書上，其實可認為是流形的另一定義，即 “流形可視作由足夠大小的分布構成的一類拓撲結構”。
下一篇是李導數、李括號及 Frobenius 定理的闡述。
參考資料
【1】Wikipedia - 流形
【2】Wikipedia - 歐幾里得空間
【3】Vector field - Wikipedia
【4】Mark W.Spong 等著，賈振中 等譯，《機器人建模和控制》第十章
拓展資料
【1】]千里積於跬步——流，向量場，和微分方程[轉載]
【2】manifold 微分流形上可以定義可微函數 ...
【3】向量場的介紹
【4】數據可視化之風向圖
【6】Vector 和 Covector