QuantLib 金融計算——案例之主成分久期（PCD）
概述
關鍵期限上利率的變動通常有較強的相關性，所以，使用 KRD 天然的存在着“共線性”的隱患。
處理共線性的常見手段是主成分分析（PCA），這也就引出了主成分久期（PCD）的概念——債券價格關於主成分的敏感性。
主成分久期
關於主成分久期的高級內容請見《《Interest Rate Risk Modeling》閱讀筆記——第十章》。
主成分是原始變量的線性組合，可以證明 PCD 也是 KRD 的線性組合，因此計算 PCD 需要分三步：
- 算出關鍵利率的 KRD；
- 對關鍵利率做 PCA；
- 根據 KRD 和 PCA 的載荷矩陣（loading）計算 PCD
計算案例
沿用《案例之 KRD、Fisher-Weil 久期及久期的解釋能力》的數據，KRD 的計算略過，直接使用最終結果。
利率變化的主成分分析
需要注意的是，這里不需要對數據做標准化（standardize），否則最終計算 KRD 時要做一次尺度變換。但遵照《Interest Rate Risk Modeling》的做法，最終的主成分因子做了歸一化（normalize）。
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import seaborn as sns
ratesChg = pd.read_csv(
'ratesChg.csv', parse_dates=True, index_col='date')
returns = pd.read_csv(
'returns.csv', parse_dates=True, index_col='date')
pca = sm.PCA(
ratesChg,
standardize=False,
demean=True,
normalize=True)
print(pca.loadings)
'''
comp_00 comp_01 comp_02 ... comp_11 comp_12 comp_13
1D 0.471356 0.877932 -0.060239 ... 0.015957 0.024632 0.006903
6M 0.047785 0.023852 0.897648 ... -0.001783 0.012518 -0.018913
1Y 0.298379 -0.136045 0.227319 ... -0.132121 -0.011556 -0.044387
2Y 0.310444 -0.149192 0.123286 ... 0.645939 -0.030575 0.140874
3Y 0.342030 -0.157388 0.033696 ... -0.385047 -0.121084 0.023274
4Y 0.342225 -0.187096 0.013315 ... 0.023240 0.393166 -0.008804
5Y 0.303104 -0.174121 0.034038 ... 0.066626 -0.031194 -0.094945
6Y 0.266243 -0.131857 -0.053863 ... -0.499595 -0.316239 -0.183736
7Y 0.224635 -0.120262 -0.054711 ... 0.102571 -0.247733 0.106077
8Y 0.218911 -0.138575 -0.168238 ... -0.150574 0.655571 -0.091769
9Y 0.217848 -0.115892 -0.188426 ... 0.132909 -0.470151 0.134931
10Y 0.136793 -0.117408 -0.208336 ... 0.180370 0.058729 0.088273
15Y 0.135273 -0.106458 -0.087883 ... 0.259897 -0.024268 -0.592554
20Y 0.102095 -0.090580 -0.020611 ... -0.106187 0.108275 0.733208
'''
下面計算一下每個成分因子對回報率的解釋能力。
R2 = pd.DataFrame(
data=[sm.OLS(endog=returns, exog=pca.factors.iloc[:, i]).fit().rsquared for i in range(pca._ncomp)],
index=pca.loadings.columns)
print(R2)
'''
comp_00 0.442932
comp_01 0.098024
comp_02 0.039253
comp_03 0.129587
comp_04 0.035543
comp_05 0.036428
comp_06 0.055197
comp_07 0.000370
comp_08 0.045802
comp_09 0.000013
comp_10 0.004617
comp_11 0.000724
comp_12 0.018448
comp_13 0.000376
'''
上一篇中構造的水平因子的解釋能力大約是 50%，而前四個主成分因子的解釋能力大約能達到 70%（0.7 = 0.442932 + 0.098024 + 0.039253 + 0.129587）。
pcReg = sm.OLS(
endog=returns, exog=pca.factors).fit()
# print(pcReg.summary())
idx = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12]
pcReg = sm.OLS(
endog=returns, exog=pca.factors.iloc[:, idx]).fit()
print(pcReg.summary())
'''
OLS Regression Results
=======================================================================================
Dep. Variable: return R-squared (uncentered): 0.906
Model: OLS Adj. R-squared (uncentered): 0.902
Method: Least Squares F-statistic: 228.9
Date: Wed, 18 Nov 2020 Prob (F-statistic): 4.81e-116
Time: 15:22:48 Log-Likelihood: 1424.0
No. Observations: 248 AIC: -2828.
Df Residuals: 238 BIC: -2793.
Df Model: 10
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
comp_00 -0.0265 0.001 -33.458 0.000 -0.028 -0.025
comp_01 0.0125 0.001 15.740 0.000 0.011 0.014
comp_02 0.0079 0.001 9.960 0.000 0.006 0.009
comp_03 -0.0143 0.001 -18.097 0.000 -0.016 -0.013
comp_04 -0.0075 0.001 -9.478 0.000 -0.009 -0.006
comp_05 0.0076 0.001 9.595 0.000 0.006 0.009
comp_06 0.0094 0.001 11.811 0.000 0.008 0.011
comp_08 -0.0085 0.001 -10.759 0.000 -0.010 -0.007
comp_10 -0.0027 0.001 -3.416 0.001 -0.004 -0.001
comp_12 0.0054 0.001 6.828 0.000 0.004 0.007
==============================================================================
Omnibus: 130.528 Durbin-Watson: 1.924
Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 7723.672
Skew: -1.214 Prob(JB): 0.00
'''
從所有主成分因子中篩選掉少數不顯著的因子，總的解釋能力已達到了 90%。
計算 PCD
根據這里的推導，PCD 向量等於 KRD 向量與載荷矩陣的乘積。
計算 PCD 時有一個的問題需要注意，即載荷向量（載荷矩陣的某列）元素的符號。單純從 PCA 的角度來看，載荷向量元素的符號不構成一個問題，如果 \(l\) 是載荷向量，\(-l\) 也能充當載荷向量。但是元素的符號為載荷向量賦予經濟含義，具體到利率期限結構的分析來說，通常約定
- 水平因子（h）對應的向量所有元素都必須為正；
- 斜率因子（s）對應的向量在短期限一端為負，在長期限一端為正；
- 曲率因子（c）對應的向量在中間期限為正，在兩端為負。
因此，計算 PCD 之前需要調整載荷向量的符號。
krd = pd.DataFrame(
data=[
-0.00273973, 0.01761345, 0.02607589, 0.06751827, 0.09790298,
0.12608806, 0.15196510, 0.17540198, 0.19649419, 3.12947679,
3.35232738, 0.00000000, 0.00000000, 0.00000000],
index=pca.loadings.index,
columns=['KRD'])
hsc = pca.loadings[['comp_00','comp_01','comp_03']]
hsc.columns = ['h','s','c']
# print(hsc)
hsc.loc[:,'s'] = -hsc.loc[:,'s']
hsc.loc[:,'c'] = -hsc.loc[:,'c']
print(hsc)
hsc.plot(marker='o')
'''
h s c
1D 0.471356 -0.877932 -0.027072
6M 0.047785 -0.023852 -0.426987
1Y 0.298379 0.136045 0.416754
2Y 0.310444 0.149192 0.261607
3Y 0.342030 0.157388 0.222109
4Y 0.342225 0.187096 0.086126
5Y 0.303104 0.174121 0.047247
6Y 0.266243 0.131857 -0.176602
7Y 0.224635 0.120262 -0.063345
8Y 0.218911 0.138575 -0.288706
9Y 0.217848 0.115892 -0.352268
10Y 0.136793 0.117408 -0.506713
15Y 0.135273 0.106458 -0.108318
20Y 0.102095 0.090580 -0.068624
'''
因子的選擇其實見仁見智，綜合考慮曲線的形狀和解釋能力，第四個主成分因子更適合做曲率因子。
pcd = (hsc * krd.values).sum()
print(pcd)
pcdNormalize = pcd * np.sqrt(pca.eigenvals[0:3]).values
print(pcdNormalize)
'''
h 1.657201
s 0.950000
c -2.066973
h 0.026187
s 0.012167
c -0.013483
'''
pcd 是債券關於主成分因子的敏感性，pcdNormalize 是債券關於歸一化后主成分的敏感性（和書中的約定一樣），可以看出 pcdNormalize 的值和回歸系數大體保持一致（注意到符號的轉換）。
第一主成分和上一篇的水平因子經濟含義相似，但當前得到的 pcd 的值和上一篇中的 Fisher-Weil 久期相去甚遠，這主要是因為主成分因子做了尺度縮放。對於水平因子來說，消除尺度縮放
pcd['h'] * pca.loadings['comp_00'].sum()
# 5.662857296706285
這樣第一主成分就變成了利率變動的加權平均，結果與 Fisher-Weil 久期的值接近，且數量級保持一致。