QuantLib 金融計算——比較幾種生成 Sobol 序列的方向數
概述
Sobol 序列因方向數的選取而不同,下面比較一下 QuantLib 中 10 種方向數配置所產生的 Sobol 序列。
QuantLib 提供 10 種方向數配置,分別是:
Jaeckel
:理論支持的最大維度為 32,來源於文獻 Monte Carlo Methods in Finance(by Peter Jäckel);SobolLevitan
:理論支持的最大維度為 40,來源於文獻 Algorithm 659: Implementing Sobol's quasirandom sequence generator;SobolLevitanLemieux
:理論支持的最大維度為 360,來源於文獻 RandQMC user's guide - A package for randomized quasi-Monte Carlo methods in C;JoeKuoD5
:理論支持的最大維度為 2000,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;JoeKuoD6
:理論支持的最大維度為 21201,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;JoeKuoD7
:理論支持的最大維度為 1900,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;Kuo
:理論支持的最大維度為 4926,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;Kuo2
:理論支持的最大維度為 3947,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;Kuo3
:理論支持的最大維度為 4587,來源於文獻 Constructing Sobol sequences with better two-dimensional projections;Unit
:來源於文獻 Monte Carlo Methods in Finance(by Peter Jäckel)。
如果序列的維度超過了理論支持的最大維度,剩余維度上的方向數由偽隨機數(Mersenne twister)填充。
更多關於 JoeKuoD5
、JoeKuoD6
、JoeKuoD7
、Kuo
、Kuo2
和 Kuo3
的細節請查看:http://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/
數值實驗
實驗案例:算術平均亞式看漲期權。
隨機過程和期權參數配置:
- \(s\):100.0
- \(q\):0.0
- \(r\):0.09
- \(v\):0.2
- 執行價:95.0
- 時間長度:365 天、30 天
實驗路徑數:1000、2000、3000、4000、5000、10000、20000、50000、100000
長期期權實驗結果
- 不使用布朗橋
Jaeckel
、SobolLevitan
和 SobolLevitanLemieux
三個低維度算法的表現明顯好於其他。
Unit
的表現非常糟糕,盡管表現出收斂的態勢,但 100000 路徑模擬結果是 18.16,而准確值則是 9.997(文獻【1】)。
注:NAG,SciPy 和 Julia 中的 Sobol 序列使用了
JoeKuoD6
的方向數配置:
- https://www.nag.com/numeric/cl/nagdoc_cl24/html/G05/g05ylc.html
- https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/reference/generated/scipy.stats.qmc.Sobol.html
- https://www.juliapackages.com/p/sobol
但
JoeKuoD6
的表現居然不及三個需要隨機初始化的低維算法。
- 使用布朗橋
使用布朗橋之后,幾種配置沒有明顯差別,Unit
的表現也有很大改善。
短期期權實驗結果
- 不使用布朗橋
- 使用布朗橋
對於短期期權,無論是否使用布朗橋,各個方法沒有明顯差別。
結論
盡管其他知名軟件包選擇使用了 JeoKuoD6
的配置,但 QuantLib 當前的默認選項 Jaeckel
可能已然是最好的選擇。(歡迎加入討論:https://github.com/lballabio/QuantLib/issues/1219)
此外,布朗橋的使用真可謂“化腐朽為神奇”。
擴展閱讀
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幾種方向數配置之間其他方面的比較請查看文獻【2】
參考文獻
- Lo, Chien-Ling, Kenneth J. Palmer, and Min-Teh Yu. "Moment-matching approximations for Asian options." The Journal of Derivatives 21.4 (2014): 103-122.
- Sobol', Ilya M., et al. "Construction and comparison of high‐dimensional Sobol'generators." Wilmott 2011.56 (2011): 64-79.