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QuantLib 金融計算——原理之 Bootstrap
這次新開一個系列，不講應用案例了，嘗試介紹 QuantLib 某些核心功能背后的代碼邏輯與數學原理。
Bootstrap 的原理
通過合約報價推算期限結構的過程稱為“bootstrap”，其思想和實踐非常類似於理論證明中用到的“數學歸納法”，大體過程如下：
- 首先將要用到的已知利率和金融工具根據期限升序排列；
- 假設已經求得期限結構上的第 \(n\) 個值——\(TS_n\)，對應於第 \(n\) 個報價；
- 令 \(TS_{n+1}\) 是個待定參數 \(x\)，並給定一個初值；
- 用已知的期限結構數據——\(TS_1,\dots,TS_n,x\)，對第 \(n+1\) 個金融工具進行估值；
- 調整 \(x\)，使得估值結果與報價達到一致；
- 此時，\(x\) 便是要求解的 \(TS_{n+1}\)；
- 以此類推。
其中 \(TS\) 可以是即期利率、遠期利率、貼現因子三者中的任意一個，而可用的插值方法也有線性插值、樣條插值、對數線性插值和常數插值等等。兩個維度相互搭配可以產生非常多的組合，QuantLib 通過模板技術實現兩個維度的自由搭配，具體選擇哪種組合要視業務需要而定。
其他問題語境下的 bootstrap 計算原理類似。
QuantLib 中的 bootstrap 計算（利率語境）
要在 QuantLib 中 bootstrap 出一條利率曲線所涉及的最核心的類有兩個：
- 直接調用的類是
PiecewiseYieldCurve模板類，它直接接受一組報價； - 另外一個間接調用的類是
IterativeBootstrap模板類，作為PiecewiseYieldCurve的默認模板參數。
PiecewiseYieldCurve 需要三個模板參數，前兩個分別確定底層數據和插值方法的選擇。比如說 PiecewiseYieldCurve<Discount, LogLinear> 表示程序內部 bootstrap 出一條貼現因子曲線，用對數線性法插值得到任意日期上的利率值。
IterativeBootstrap 是 PiecewiseYieldCurve 需要的第三個模板參數，並且是默認選項。它本身就是個模板類，而它的模板參數正是實例化后的 PiecewiseYieldCurve。C++ 模板就是這么神奇！
在整個 bootstrap 計算過程中，實際出苦力的類是 IterativeBootstrap，它負責從若干金融工具的報價數據中迭代地求解出利率曲線，而 PiecewiseYieldCurve 則是充當 Boss 的角色。
核心代碼細節
現在來看看 QuantLib 具體怎么實現 bootstrap 的。
通過一些模板技巧，PiecewiseYieldCurve 其實是 YieldTermStructure 的派生類，所以它最核心的方法是 discountImpl（要了解這一點，請閱讀《構建 QuantLib》）。
DiscountFactor PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::discountImpl(Time t) const
{
calculate();
return base_curve::discountImpl(t);
}
在返回數據之前，PiecewiseYieldCurve 會先調用 calculate，bootstrap 的計算就發生在這里。
PiecewiseYieldCurve 的 calculate 方法直接復用其基類 LazyObject 的 calculate 方法。這里應用了“模板方法模式”，calculate 只起到傳達命令的作用，實際的計算任務被重新委派回了 PiecewiseYieldCurve 的 performCalculations 方法。
void PiecewiseYieldCurve<C,I,B>::performCalculations() const
{
// just delegate to the bootstrapper
bootstrap_.calculate();
}
在 performCalculations 方法中 IterativeBootstrap 的一個實例 bootstrap_ 最終執行所有計算。
盡管 IterativeBootstrap 的 calculate 方法代碼很長，但毛教員教育我們分析問題要“抓大放小”，其實最核心的代碼只有兩行，
if (validData)
solver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);
else
firstSolver_.solve(*errors_[i], accuracy, guess, min, max);
solver_ 和 firstSolver_ 分別是 Brent 和 FiniteDifferenceNewtonSafe 對象，用於求解（非）線性函數的根，也就是求解利率。
errors_[i] = ext::shared_ptr<BootstrapError<Curve> >(
new BootstrapError<Curve>(ts_, helper, i));
errors_ 是 BootstrapError 對象，也是一個函數對象，它負責返回估值結果與實際報價之間的差距，充當待求解的（非）線性函數。
const ext::shared_ptr<typename Traits::helper>& helper = ts_->instruments_[j];
而 helper 就是某個傳遞給 PiecewiseYieldCurve 的報價對象，在利率語境下通常是 FraRateHelper 或 SwapRateHelper 等 XXXRateHelper 對象，這些 XXXRateHelper 類專門用於 bootstrap 計算。
上述代碼便是 QuantLib 對 bootstrap 原理的實現。
開放問題：如何實現 FR007 互換的相關分析？
利率互換的分析分為兩大類：
- 對存續合約估計、計算敏感性等；
- 根據最新合約的報價推算利率期限結構。
FR007 互換的現金流結構和普通的利率互換（例如 Shibor3M 互換）基本一致，每隔三個月交換現金流，但確定浮動端利率的方式有不同。在三個月的付息區間內 FR007 利率要每隔七天確定一次，付息區間內的若干 FR007 利率還需要經過某些計算才能最終確定浮動端利率。
根據上述代碼的分析，要想最大限度的復用當前邏輯並最小程度的編寫代碼，需要在 helper 上做文章，可以考慮實現 SwapRateHelper 的兄弟類 FR007SwapRateHelper，以及配套的 FR007Swap 類（作為 VanillaSwap 的派生類或兄弟類）。
QuantLib 當前實現的 ArithmeticAverageOIS 和 ArithmeticOISRateHelper 也許是非常值得效仿的范例。
下一步將嘗試按照上述思路實現 C++ 代碼。