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• QuantLib 金融計算——隨機過程之一般 Black Scholes 過程
  • 一般 Black Scholes 過程

如果未做特別說明，文中的程序都是 Python3 代碼。

QuantLib 金融計算——隨機過程之一般 Black Scholes 過程

載入模塊

import QuantLib as ql
import pandas as pd
import numpy as np
import seaborn as sn

print(ql.__version__)

1.12

一般 Black Scholes 過程

quantlib-python 中 Black Scholes 框架下常見的幾種隨機過程均派生自基類 GeneralizedBlackScholesProcess，而 GeneralizedBlackScholesProcess 模擬下列 SDE 描述的一維隨機過程：

\[d \ln S_t = \left( r ( t ) - q ( t ) - \frac { \sigma \left( t , S_t \right)^2 } 2 \right) d t + \sigma d W_t \]

等式使用風險中性漂移而不是一般漂移 \(\mu\)。風險中性利率由股息率 \(q(t)\) 調整，並且相應的擴散項是 \(\sigma\)。

作為基類，GeneralizedBlackScholesProcess 的構造函數為

GeneralizedBlackScholesProcess(x0,
                               dividendTS,
                               riskFreeTS,
                               blackVolTS)

其中：

• x0：QuoteHandle 對象，表示 SDE 的起始值；
• dividendTS：YieldTermStructureHandle 對象，表示股息率的期限結構
• riskFreeTS：YieldTermStructureHandle 對象，表示無風險利率的期限結構
• blackVolTS：BlackVolTermStructureHandle 對象，表示波動率的期限結構

GeneralizedBlackScholesProcess 提供了相應的檢查器，返回構造函數接受的關鍵參數：

• stateVariable；
• dividendYield；
• riskFreeRate；
• blackVolatility

從 StochasticProcess1D 繼承來的離散化函數 evolve，描述 SDE 從 \(t\) 到 \(t + \Delta t\) 的變化。

QuantLib 提供了一些具體的派生類，這些類代表眾所周知的具體過程，如

• BlackScholesProcess：沒有股息率的一般 BS 過程；
• BlackScholesMertonProcess：一般 BS 過程；
• BlackProcess：一般 Black 過程；
• GarmanKohlagenProcess：包含外匯利率的一般 BS 過程

這些派生類在構造和調用方式上大同小異，在下面的例子中，我們將建立一個具有平坦無風險利率、股息率和波動率期限結構的 Black-Scholes-Merton 過程，並畫出模擬結果。

def testingStochasticProcesses1():
    refDate = ql.Date(27, ql.January, 2019)
    riskFreeRate = 0.0321
    dividendRate = 0.0128
    spot = 52.0
    vol = 0.2144
    cal = ql.China()
    dc = ql.ActualActual()

    rdHandle = ql.YieldTermStructureHandle(
        ql.FlatForward(refDate, riskFreeRate, dc))
    rqHandle = ql.YieldTermStructureHandle(
        ql.FlatForward(refDate, dividendRate, dc))

    spotQuote = ql.SimpleQuote(spot)
    spotHandle = ql.QuoteHandle(
        ql.SimpleQuote(spot))

    volHandle = ql.BlackVolTermStructureHandle(
        ql.BlackConstantVol(refDate, cal, vol, dc))

    bsmProcess = ql.BlackScholesMertonProcess(
        spotHandle, rqHandle, rdHandle, volHandle)

    seed = 1234
    unifMt = ql.MersenneTwisterUniformRng(seed)
    bmGauss = ql.BoxMullerMersenneTwisterGaussianRng(unifMt)

    dt = 0.004
    numVals = 250

    bsm = pd.DataFrame()

    for i in range(10):
        bsmt = pd.DataFrame(
            dict(
                t=np.linspace(0, dt * numVals, numVals + 1),
                path=np.nan,
                n='p' + str(i)))

        bsmt.loc[0, 'path'] = spotQuote.value()

        x = spotQuote.value()

        for j in range(1, numVals + 1):
            dw = bmGauss.next().value()
            x = bsmProcess.evolve(bsmt.loc[j, 't'], x, dt, dw)
            bsmt.loc[j, 'path'] = x

        bsm = pd.concat([bsm, bsmt])

    sn.lineplot(
        x='t', y='path',
        data=bsm,
        hue='n', legend=None)


testingStochasticProcesses1()