向量/坐標系旋轉的矩陣表示

在Cartesian坐標系中，存在向量 \(\textbf{M}=a\textbf{i}+b\textbf{j}=(a \quad b)^{\rm T}\)，現在將坐標系按原點逆時針旋轉 \(\theta\) （注意：不是將 \(\textbf{M}\) 逆時針旋轉），\(\textbf{M}\) 在新坐標系內的表示如下：

\[\mathbf{M} = \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix} \tag{1} \label{eq1} \]

可以看出

\[a'=a*cos\theta+b*sin\theta \\ b'=-a*sin\theta+b*cos\theta \tag{2} \label{eq2} \]

現在觀察式 \(\eqref{eq2}\)，發現和兩個向量的向量積公式一致，再加上由概念可以直接得出， \(a'\) 就是新坐標系下 \(\textbf{M}\) 在 \(\textbf{i}'\) 基向量方向上的長度， \(b'\) 就是新坐標系下 \(\textbf{M}\) 在 \(\textbf{j}'\) 基向量方向上的長度，因此新坐標系的兩個基向量可以寫成：

\[\textbf{i}'= (cos\theta \quad sin\theta) ^{\rm T}\\ \textbf{j}'= (-sin\theta \quad cos\theta) ^{\rm T} \tag{3} \label{eq3} \]

同樣，我們發現確定 \(\textbf{M}\) 在逆時針旋轉 \(\theta\) 后的坐標系下的表示，可以等價成 \(\textbf{M}\) 順時針旋轉 \(\theta\) 后在原先坐標系下的表示。因此，我們轉而分析將 \(\textbf{M}\) 順時針旋轉 \(\beta\) 后 \(\textbf{M}'\) 在坐標系下的表示，假定有旋轉矩陣 \(\textbf{T}\)：

\[ \mathbf{T}\mathbf{M} = \mathbf{T}\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} cos\beta & sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \mathbf{i''} & \mathbf{j''} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \textbf{M}' \tag{4} \label{eq4} \]

很顯然， \(\textbf{T}\) 將基向量旋轉了來保證 \(\textbf{M}'\) 在新的基下，仍然保持一致的投影分量 \((a \quad b)^{\rm T}\) ，此時新的基可以表示為：

\[ \textbf{i}'' = (cos\beta \quad -sin\beta) ^{\rm T}\\ \textbf{j}''= (sin\beta \quad cos\beta) ^{\rm T} \tag{5} \label{eq5} \]

分析可知，式 \(\eqref{eq3}\) 和式 \(\eqref{eq5}\) 是一致的，對一組正交單位基逆時針旋轉角度 \(\theta\) （如果順時針旋轉 \(\theta\)，則可以表示成逆時針旋轉了 \(-\theta\)），得到的新基可以表示為：

\[\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix} \tag{6} \label{eq6} \]

參考資料

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[1] 行列式的本質是什么？

[2] 矩陣行列式的幾何意義

[3] 如何理解相似矩陣？

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最后更新於 2020年11月17日 --- 最初發表於 2020年11月17日
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