三維坐標系的旋轉矩陣

轉載自；http://m.blog.csdn.net/blog/qiuqchen/21980731

為了方便自己記憶，記錄一下三維坐標旋轉矩陣的推導過程。

    坐標的旋轉變換在很多地方都會用到，比如機器視覺中的攝像機標定、圖像處理中的圖像旋轉、游戲編程等。

    任何維的旋轉可以表述為向量與合適尺寸的方陣的乘積。最終一個旋轉等價於在另一個不同坐標系下對點位置的重新表述。坐標系旋轉角度θ則等同於將目標點圍繞坐標原點反方向旋轉同樣的角度θ。

    若以坐標系的三個坐標軸X、Y、Z分別作為旋轉軸，則點實際上只在垂直坐標軸的平面上作二維旋轉。

   假設三維坐標系中的某一向量 ，其在直角坐標系中的圖如圖1所示。其中點P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分別為點M、點P、點N。

 

                                              

                                                                 圖1 直角坐標系XYZ

   一、 繞Z軸旋轉θ角

    繞Z軸旋轉，相當於 在XY平面的投影OM繞原點旋轉，如下圖所示，OM旋轉θ角到OM'。

                                                 

                                                            

                                                                   圖2 向量繞Z軸旋轉示意圖

   設旋轉前的坐標為，旋轉后的坐標為，則點M的坐標為，點M'的坐標為。由此可得：

                                                       

    對於和進行三角展開可得：

                                                      

    且有 ;可得繞Z軸旋轉 角的旋轉矩陣為：

                         

                                                                   

   二、 繞X軸旋旋轉θ角

   繞X軸旋轉，相當於 在YZ平面的投影ON繞原點旋轉，如下圖所示，ON旋轉θ角到ON'。

                                                             

                                                                   圖3 向量繞X軸旋轉示意圖

   設旋轉前的坐標為 ，旋轉后的坐標為 ，則點N的坐標為 ，點N'的坐標為 。由此可得：

                                                   

    對於和進行三角展開可得：

                                                

    且有 ;可得繞X軸旋轉 角的旋轉矩陣為：

                         

                                                         

    三、 繞Y軸旋旋轉θ角

    繞Y軸旋轉，相當於 在XZ平面的投影OQ繞原點旋轉，如下圖所示，OQ旋轉θ角到OQ'。

                                                 

                                                            

                                                                   圖4 向量繞Y軸旋轉示意圖

   設旋轉前的坐標為 ，旋轉后的坐標為 ，則點Q的坐標為 ，點Q'的坐標為 。由此可得：

                                               

    對於和進行三角展開可得：

                                             

    且有 ;可得繞Y軸旋轉 角的旋轉矩陣為：

                         

                                           

    四、繞X、Y、Z軸旋轉的旋轉矩陣分別為：

 

                

    五、總結

    

    啰啰嗦嗦終於打完所有的公式了，其實三個軸會推導其中一個軸的旋轉矩陣的話，另外兩個軸也類似地可以很容易推導出來。這里給出所有的推導過程只是為了我自己記憶的方便。當然也可以不旋轉向量，而使用旋轉坐標系的方法推導，兩種方法是等價的。

    公式的輸入我使用了這篇博客 http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937給出的方法。還有一個小技巧，就是可以雙擊公式，在最上面的工具欄“圖片”選項里直接修改公式的內容。

參考：

1、《學習OpenCV》

2、公式輸入： http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937

3、在線編輯公式： http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php