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波動率是一個重要的概念，在金融和交易中有許多應用。這是期權定價的基礎。波動率還使您可以確定資產分配並計算投資組合的風險價值（VaR）。甚至波動率本身也是一種金融工具，例如CBOE的VIX波動率指數。但是，與證券價格或利率不同，波動不能直接觀察到。

取而代之的是，它通常被衡量為來自證券或市場指數的收益或收益歷史的統計波動。這種類型的度量稱為已實現波動率或歷史波動率。衡量波動率的另一種方法是通過期權市場，在該市場中，可以使用期權價格通過某些期權定價模型來得出基礎證券的波動性。Black-Scholes模型是最受歡迎的模型。這種定義稱為 隱含波動性。VIX基於隱含波動率。

存在多種統計方法來衡量收益序列的歷史波動率。較高頻率的數據可用於計算低頻收益的波動率。例如，使用日內收益率來計算每日波動率；使用每日收益來每周波動。人們還可以使用每日OHLC（開盤價，最高價，最低價和收盤價）來計算每日波動率。更多的學術方法包括ARCH（自回歸條件異方差），GARCH（廣義ARCH），TGARCH（閾值GARCH），EGARCH（指數GARCH）等。我們不會詳細討論每個模型及其優缺點。相反，我們將專注於隨機波動率（SV）模型，並將其結果與其他模型進行比較。通常，SV模型很難用回歸方法來估計。

EUR / USD匯率

我們將以2003-2018年EUR / USD匯率的每日收盤價為例來計算每日波動率。

ask = readtable('EURUSDdaily.csv');
t = ask.Time;
cl = ask.close;
%% 相關性檢驗
rtn = double((cl - lagmatrix(c
% - remove NaN
t = t(2:en ;
n = size(rtn,1); %數據量
figure('position',

圖1. EUR / USD的每日匯率和每日對數收益率。

圖2顯示沒有證據表明收益率存在序列相關性。最多30個之后的收益的自相關函數（ACF）和偏自相關函數（PACF）無相關性。收益率的Ljung-Box Q檢驗也未顯示明顯的自相關。

% 序列相關性檢驗
figure( 'position',[355
figure( 'position',[355
ylabel( 'Return^2');

圖2.收益相關性檢驗。Ljung-Box Q檢驗（左下方）未顯示出明顯的自相關。自相關函數（右上）和部分自相關函數（右下）（紅色虛線為95％置信區間），表示沒有相關性。

但是，我們可以確定具有較大絕對收益的周期的群集。因此，絕對返回值具有明顯的序列相關性。這在圖3的收益平方分析中得到了證實，其中ACF和PACF均顯着，並且Ljung-Box Q檢驗也強烈表明了序列自相關。這種相關性是由集群的波動性引起的，也就是說，波動率在某些時期（例如，2008年的金融危機）較高，而在其他時期則較低。

圖3.收益率平方的相關檢驗。

GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型

我們首先使用經典GARCH（1,1）模型對收益系列進行建模

可以使用Matlab來估算GARCH（1,1）模型。圖4和5中的ACF，PACF和Ljung-Box Q檢驗未顯示出殘差中的顯着序列相關性，圖4左上方的殘差項比原始返回序列更像白噪聲。然后可以認為GARCH（1,1）模型足以描述收益率的波動性（圖6）。

% 序列殘差相關性檢驗
figure('position',[355 320 800 400]);
plotcorrstat(t,res,30,1:30)
%% 繪制波動率
figure('position',[355 320 800 200]);
plot(t,V
ylabel( 'GARCH Volatility h_t');

圖4. GARCH（1,1）模型殘差的相關性檢驗。

圖5.對GARCH（1,1）模型的殘差平方的相關性檢驗。

圖6. GARCH（1,1）模型的波動率。

馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）

MCMC由兩部分組成。在 蒙特卡洛 部分是如何從一個給定的概率分布得出的隨機樣本，馬爾可夫鏈 部分的目標是產生一個穩定的隨機過程，稱為馬爾可夫過程。馬爾可夫過程具有以下特征：隨機過程的下一步驟的狀態僅取決於當前步驟的狀態。這種依賴性不是確定性的。取而代之的是，由當前概率到下一步的過渡由平穩概率分布來描述。

MCMC已被廣泛用於解決物理和財務問題。

隨機波動率（SV）模型

從1990年代初開始就隨機波動率建模，自1994年Jacquier，Polson和Rossi的論文首次為隨機波動率提供清晰證據以來，該模型就開始應用。根據他們的開創性論文，我們編寫了SV模型，

MCMC診斷

根據問題和設置，MCMC在序列接近目標分布之前可能需要進行多次迭代。如圖7所示 beta快速達到穩定狀態。穩定性之前的這些迭代稱為“老化”。我們運行10000次迭代。

圖7.參數的迭代。

在MCMC過程中抽取樣本意味着連續樣本之間可能存在相關性。為了評估序列中有多少相關，我們繪制了每個參數在不同滯后的樣本自相關函數（圖8）。具有高度相關性的馬爾可夫鏈在參數空間中緩慢移動，並需要更多的迭代和更長的計算時間才能以接近目標分布的概率訪問參數空間中的不同區域。因此，給定固定的迭代總數，具有高相關性的馬爾可夫鏈的獨立樣本的總數小於具有低相關性的馬爾可夫鏈的獨立樣本的總數。

我們可以通過計算 有效樣本量 （ESS）表示單個馬爾可夫鏈的參數。了解ESS后，我們可以估算 MCMC方差，它衡量MCMC接近目標分布的精確度。顯然，需要低MCMC方差。

可以為單個參數計算ESS。但是，考慮到參數之間的潛在互相關性（我們將在下面的聯合分布圖中看到），我們計算了多元ESS，發現在6000個樣本中大約有517個。這些小的標准誤差表明，我們的單個MCMC序列中的樣本很好地代表了參數的目標聯合分布。在ESS值較小（通常<100）的情況下，要么必須調整分布的參數以減少自相關，要么必須簡單地生成更多樣本（以計算時間為代價）。

可以采用用於Metropolis-Hastings算法的更復雜的提議方法來減少序列中的相關性，例如漢密爾頓式MCMC。

圖8.老化后參數序列的自相關。紅線表示5％的顯着性水平。

結果和討論

去除burin-in后，我們獲得了參數樣本的集合，這些樣本可以從參數的真實高維聯合分布中近似隨機抽取的樣本。然后，我們可以對這些參數進行統計推斷。例如，成對參數的聯合分布和每個參數的邊際分布如圖9所示。

使用聯合后驗分布證明采樣是合理的。但是，為不同的先驗分布的變量計算出接近形式的后驗分布將很麻煩。在這種情況下，Metropolis-Hastings采樣方法有優勢。

圖9.配對參數的聯合分布的散點圖和參數的邊緣分布（對角線面板）的直方圖。

從邊際分布，我們可以估計參數的均值和標准誤

	beta	alpha1	alpha2	sigma
均值	0.004	-0.053	0.957	0.044
標准誤	0.008	0.008	0.006	0.004

隨機波動率及其置信區間是通過在序列變得穩定之后計算采樣波動率的平均值，2.5％和97.5％的分位數來獲得的。繪制在圖10中。

圖10. 4000次測試后隨機波動率的后驗均值。隨機波動率的95％的分位數之間用紅色表示置信區間。

SV模型的隨機波動總體上與GARCH模型非常相似，但參差不齊。這是自然的，因為SV模型中假設了額外的隨機項。與其他模型相比，使用隨機波動率模型的主要優點是，波動率被建模為隨機過程而不是確定性過程。這使我們可以獲得序列中每次的波動率的近似分布。當應用於波動率預測時，隨機模型可以為預測提供置信度。另一方面，缺點也很明顯。計算成本相對較高。