設 \(A\) 是任意 \(m \times n\) 矩陣，則 \(A^TA\) 有如下分解：
\(A^TA=P \Lambda P^{-1}\) ，其中 \(\Lambda\) 是對角矩陣，其對角線上的元素是 \(A^TA\) 的特征值，則 \(A^TA\) 有 \(r(\Lambda)\) 個非零特征值。
由於相似矩陣的秩相等，以及 \(r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA)\)，
則有 \(r(\Lambda)=r(A^TA)=r(A)\)，因此 \(A^TA\) 有 \(r(A)\) 個非零特征值。
由於 \(A\) 的奇異值就是 \(A^TA\) 的特征值的平方根，因此 \(A\) 有 \(r(A)\) 個非零奇異值。