设 \(A\) 是任意 \(m \times n\) 矩阵，则 \(A^TA\) 有如下分解：
\(A^TA=P \Lambda P^{-1}\) ，其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵，其对角线上的元素是 \(A^TA\) 的特征值，则 \(A^TA\) 有 \(r(\Lambda)\) 个非零特征值。
由于相似矩阵的秩相等，以及 \(r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA)\)，
则有 \(r(\Lambda)=r(A^TA)=r(A)\)，因此 \(A^TA\) 有 \(r(A)\) 个非零特征值。
由于 \(A\) 的奇异值就是 \(A^TA\) 的特征值的平方根，因此 \(A\) 有 \(r(A)\) 个非零奇异值。