多元函數取極值的條件是：
各個分量的偏導數為0，這是一個必要條件。充分條件是這個多元函數的二階偏導數的行列式為正定或負定的。如果這個多元函數的二階偏導數的行列式是半正定的則需要進一步判斷三階行列式。如果這個多元函數的二階偏導數的行列式是不定的，那么這時不是極值點。
以二元函數為例，設函數z=f(x,y)在點（x。,y。）的某鄰域內有連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令
fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C
則f(x,y)在（x。,y。）處是否取得極值的條件是
（1）AC-B*B>0時有極值
（2）AC-B*B<0時沒有極值
（3）AC-B*B=0時可能有極值，也有可能沒有極值
如果是n元函數需要用行列式表示。如果是條件極值，那么更復雜一些。