本類題幾乎年年必考，今年很大可能考條件極值。本次總結思路為主，計算量過大，故略。
一、無條件極值
該問題相對簡單只需注意以下兩類問題
1、概念判斷
如何方便記憶？
例題（1）
由題意易得f(0,0)=0
（1）
（2）
方法與（1）一致，湊出可微定義式即可。同樣成立
（3）、（4）
運用放縮思想即可，如果不會也可以運用脫帽法
故由定義可知，在(0,0)處一定取得極小值
例題（2）
同理對分母進行放縮即可，再有保號性和定義即可判斷
2、常規計算
例題（1）
這個稱之為常規計算，類比2020無條件極值只是單純考驗計算
只需要注意：多元函數在有界閉區域（閉區域指包含邊界的區域）也一定具有最值；且在區域內部的最值一定為極值。
對於本題第一問常規計算即可。
對於第二問，我們會進行判斷，因為區域內部最值一定為極值，而由（1）（這里略去計算，很簡單）內部沒有極大值，故得出最大值一定在邊界取。再取邊界上任意值（如（0，-2）和（1）中極小值比較）即可。綜上，可以得出最值一定在邊界取得。
例題（2）
毫無技巧可言，就是隱函數求偏導+計算
例題（3）
這個稱之為轉化思想計算，即在一定程度上將二元化為一元，精簡計算量，只做學習。
按步驟求解會得到兩組解①(x,y)=(0,0) ②x2+y2=1
再對①進行判斷時，從定義入手，會立刻判斷出為極小值
而對②進行判斷時，如果再去求二次偏導就太麻煩，不妨令x2+y2=t轉化為一次函數求導來判斷
二、條件極值
該類問題是今年的重點，難點就在於①找出限制條件②構造λ的目標函數③計算
①對於限制條件：
一般就是題目給出或者實際問題條件轉化
②對於目標函數構造：
學會靈活變通，這樣會精簡計算
③計算：
對於求解拉格朗日乘數法，要學會作差和作商，及一定線性代數、極坐標的運算方法
1、常規計算
介紹簡單的計算，只考察對區域內部和邊界進行判斷，然后就是計算
例題（1）
算出f(x,y)表達式后，本道真題仍是純計算，不過就是需要分類討論一下，先由無條件極值計算區域D內部極值，再由條件極值，構造，算出D邊界的極值，當然對於本問，令x=cost、y=2sint進行計算會更加快速。
例題（2）
仍是無條件極值計算區域D內部極值；對於D邊界，本題較為特殊，單獨考慮x軸、y軸和x+y=6，這里x軸、y軸判斷較為簡單，對於x+y=6，比較特殊，可以將該條件代入f(x,y)化為一次函數，求導判斷極值。
當然上述兩題，方法單一，目標明確，就是單純計算量極大。
2、應用
比較考察計算和函數的構造，以及對幾何知識的了解（比如：點到面的距離、開口水箱表面積、切線法線、橢球內接長方體等等）
例題（1）
本題還是雙條件極值，但不難，難在對函數的構造
大體圖像如上，，點到平面距離可想而知就是|z|，但是如果求偏導豈不是不存在，此時我們就需要構造F=z2+λ(...)+u(...)的函數，最后對得出的結果開方即可。
例題（2）
本道題就是對給出條件進行分析了，假設分為三段為x、y、z，那么限制條件就是x+y+z=2，而面積需要先由x、y、z從周長得出邊長在計算，最難的仍是后面大量的計算。【本題運用柯西不等式可以秒解，但考試貌似是不能運用，故此不寫了】
3、特殊計算
我做了李永樂的歷年真題集的多元函數極值問題章節，感覺此類問題涉及的壓根沒有，而是別的輔導書上有過出現。可能是考研就是單純想考對這一塊的應用，而非計算上的花里胡哨。當然看看也無妨。
例題（1）
本題原題干有限制必須運用條件極值（我沒截圖），但是運用條件極值，首先限制條件不好想，其次計算量也不小，感興趣可以計算一下，這里是令(x+y+z)/6=a為限制條件，構造F=xy2z3-λ[(x+y+z)/6-a]
本題如果沒限制，還可以運用基本不等式：
例題（2）
本題重點在於對f(x,y)有唯一駐點的理解，先看答案：
將本話轉為方程唯一解，即行列式不為0，考察一定的線代知識。
例題（3）
本題解法在於如何使用最值均滿足該方程這個條件，分為兩個方法：
法一：直接構造求解，擠牙膏算就行（結合了一些線性代數的知識）
法二：構造二次型，避開繁雜的計算（只做學習即可，但同濟教材有該類型題目）
以下是老師單獨講的一道10年數三真題：運用三種方法求解，包含二次型的講解：