【編譯原理】求First和Follow

寫這篇博客的原因，是因為考試前以為自己已經將這個問題弄清楚了，但是，考試的時候，發現自己還是不會，特別是求follow集合。雖然考試結束了，希望可以幫助屏幕前的你，可以真正理解這個問題。

碼字和做視頻都不容易，可以給個三連嗎？嗷嗚~

2020-09-12更新第一版

2021-04-13更新第二版

2021-06-22更新第三版

講解視頻

博客對應的視頻教程地址（一定要看看）：https://www.bilibili.com/video/BV17K4y1a72M#reply4409274160

視頻中的一些問題

下面列舉的問題可以先不看，等到視頻看完，再拉到對應的時間點看視頻中小小的錯誤

視頻的05:12 剪輯視頻的時候寫錯了,正確的應該是First(β) 
視頻的07:11 忘記計算First(T)和Follow(T)，筆記中補了
視頻的09:09 利用規則2或3兩邊可以是一樣的非終結符
視頻的12:03 First(E')和First(T')應該用逗號分隔

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First集

官方定義

設G=(VT，VN，S，P)是上下文無關文法 ，則

理解定義

不求信達雅，但求“說人話”。官方定義看不懂？下面的描述比較通俗易懂。

FIRST(A)是以A的開始符的集合，A的所有可能推導的開頭終結符或者是ε

例子

通過例子來加強理解。

1. 后面跟的不是非終結符

...
A->aB|ε
A->c
...
First(A)={a，ε，c}

2. 后面跟非終結符（一）

...
A->Ba
B->b
...
First(A)={b}

3. 后面跟非終結符（二）

...
A->Bc
B->b|ε
...
First(A)={b,c}

4. 后面跟非終結符（三）

...
A->BC
B->b|ε
C->c|ε
...
First(A)={b,c,ε}

Follow集

相對於First集，Follow集的理解會稍微難一點，但是認真聽，還是簡單的。

官方定義

這個是信達雅版本的定義

假定S是文法G的開始符號，對於G的任何非終結符A,我們定義

理解定義

這個是“說人話”版本的定義

Follow(A)為非終結符A后跟符號的集合,Follow(A)是所有句型中出現在緊接A之后的終結符或'#'

求解規則

（1）對於文法的開始符號S,置#於Follow（S）中；

（2）若A->αBβ是一個產生式，則把First(β) \ {ε} 加入到Follow（B）中

（3）若A->αB是一個產生式，或A->αBβ是一個產生式且β=>ε，則把Follow(A)加入到Follow(B)中

理解求解規則

（1）對於開始符號，首先將#放入Follow集中

（2）形如A->αBβ

（α可以是終結符或者非終結符或者直接為空，β可以是終結符或者非終結符，
注意β不能為空，B后面要有東西，
注意β不能為空，B后面要有東西，
注意β不能為空，B后面要有東西）

比如

A->aBC
A->aBd
A->BC
A->Bd

將First(β) \ {ε}（即First(β)除去ε） 加入到Follow（B）中

（3）形如A->αB(α可以是終結符或者非終結符或者直接為空)或者A->αBβ是一個產生式且β=>ε

比如

A->B
A->cB

A->dBC
C->ε

將Follow(A)加入到Follow(B)中

綜合例子

讓我們通過例子來對上面的知識點進行梳理和再次的理解。

綜合例子一

注意：[if] 是一個終結符，同理[b] [other] [else] [then]

G(S)：S->IETSP|O
I->if
E->b
O->other
L->else
T->then
P->LS|ε

First	Follow
First(S)={if,other}	Follow(S)={#,else}
First(I)={if}	Follow(I)={b}
First(E)={b}	Follow(E)={then}
First(O)={other}	Follow(O)={else,#}
First(L)={else}	Follow(L)={if,other}
First( P )={else,ε}	Follow( P )={else,#}
First(T)={then}	Follow(T)={if,other}

綜合例子一 中反饋的問題：

• S->IETSP|O 中求Follow(S)能運用規則2和3來求解S嗎？

解答：

可以的，雖然規則中給出的是A和B兩個不同的非終結符，但是
A和B在實際運用的過程中是可以相等的，即B=A
A和B在實際運用的過程中是可以相等的，即B=A
A和B在實際運用的過程中是可以相等的，即B=A
S->IETSP|O S后面有P,利用規則3，將First(P)加入Follow(S)中
但是，發現P可以等於ε，即S->IETS，利用規則二，將Follow(S)加入Follow(S)中

• 在求Follow(S)發現P->LS|ε也是存在的，那么follow(s)={#,else}+follow( p )，而算到follow( p )發現follow( p )=follow(s) 就不知道怎么算了

解答：（很重要，認認真真地看）

我們需要同時滿足
follow(s)={#,else}+follow(p)
follow(p)=follow(s)
將第二個式子帶入一式得到
follow(s)={#,else}+follow(s)
注意：不能將follow(s)約掉，而是要想怎么樣上面的等式仍然成立
那么，我們就會發現follow(s)只能等於{#,else}
因為 {#,else}={#,else}+{#,else}是成立的

綜合例子二

G(E):E->TE'
E'->+TE'|ε
T->FT'
T'->*FT'|ε
F->(E)|i

First	Follow
First(E)={(,i}	Follow(E)={#,)}
First(E')={+,ε}	Follow(E')={#,)}
First(T)={(,i}	Follow(T)={+,#,)}
First(T')={*,ε}	Follow(T')={+,#,)}
First(F)={(,i}	Follow(F)={*,+,#,)}

綜合例子二 中反饋的問題：

• 為什么求E的FOLLOW集看到F->(E)|I直接將)右括號直接加入Follow中

解答：

這個問題需要回到最初的定義來理解
follow集的意思是緊跟后面的符號集，E后面有），即E后面有終結符。
屬於規則二，但是終結符沒有first和follow，所以直接添加即可。

綜合例子三

G[S]: S→aH
H→aMd
H→d
M→Ab
M→ε
A→aM
A→e

First	Follow
First(S)={a}	Follow(S)={#}
First(H)={a,d}	Follow(H)={#}
First(M)={a,e,ε}	Follow(M)={d,b}
First(A)={a,e}	Follow(A)={b}

綜合例子四

G(E):E->TE'
E'->+E|ε
T->FT'
T'->T|ε
F->PF'
F'->*F'|ε
P->(E)|a|b|^

First	Follow
First(E)={(,a,b,^}	Follow(E)={#,)}
First(E')={+,ε}	Follow(E')={#,)}
First(T)={(,a,b,^}	Follow(T)={+,#,)}
First(T')={(,a,b,^,ε}	Follow(T')={+,#,)}
First(F)={(,a,b,^}	Follow(F)={(,a,b,^,+,#,)}
First(F')={*,ε}	Follow(F')={(,a,b,^,+,#,)}
First( P )={(,a,b,^}	Follow( P )={*,(,a,b,^,+,#)}

綜合例子四中反饋的問題：

怎么求follow(E)和follow(E‘)?

根據G(E)和規則一，#加入follow(E)
根據P->(E)|a|b|^和規則二，)加入follow(E)
根據E'->+E|ε和規則三，將follow（E'）到follow（E）里面

根據E->TE'和規則三得到將follow（E）到follow（E‘）里面 

=>
Follow(E)={#,)}+Follow(E')
Follow(E')=Follow(E)
根據綜合例子一中一樣的分析方法
Follow(E)={#,)}+Follow(E)=>Follow(E)={#,)}