參考自 盛驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論與數理統計 第四版[M]// 概率論與數理統計, 第四版. 高等教育出版社, 2008.
概率論的基本概念
統計規律性 大量重復試驗或觀察中所呈現的固有規律性。
隨機現象 在個別試驗中其結果呈現出不確定性，在大量重復試驗中結果又具有統計規律性的現象。
隨機試驗 具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗
- 可以在相同條件下重復進行
- 每次試驗的可能結果不知一個，並且能事先明確試驗的所有可能結果
- 進行一次試驗前，不能確定哪一個結果會出現
樣本空間
隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S. 樣本空間的元素，稱為樣本點
隨機事件
試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件。
每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生
由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件
比如，
試驗E1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現的情況。
試驗E1的樣本空間S1:{H,T}
試驗E1有兩個基本事件{H}和{T}
事件間的關系
和事件: 事件A∪B ，並集
積事件: 事件A∩B ，交集
差事件: A-B，事件A發生且事件B不發生
互斥事件: 不能同時發生的事件，又稱它們是互不相容的。
對立事件: 要么事件A發生，要么事件B發生。事件A和事件B互為逆事件。
頻率
在相同條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發生的次數nA稱為事件A發生的頻數，比值 na/n 稱為事件A發生的頻率，並記成fn(a)
概率
設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對於E的每一個事件A賦予一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。
概率具有以下特點：
- 非負性：每一個事件的概率都大於或等於0
- 規范性：必然事件的概率為1
- 可列可加性：對於兩兩互不相容
等可能概型(古典概型)
古典概型，具有以下兩個特點：
- 可能出現的結果是有限的幾個
- 每種可能出現的結果出現的概率相同
條件概率
設A,B是兩個事件，且P(A)>0, 稱
\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}\)
為在事件A發生的條件下時間B發生的條件概率
乘法定理 設P(A)>0, 則有
P(AB)=P(B|A)P(A)
定義 設S為試驗E的樣本空間，B1,B2,...,Bn為E的一組事件。若
(i) \(B_{i} B_{j}=\varnothing, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n\)
(ii) \(B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots \cup B_{n}=S\)
則稱為樣本空間S的一個划分.
定理 設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，...,Bn為S的一個划分，且P(Bi)>0 (i=1,2,...,n),則
\begin{array}{c}
P(A)=P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)+\cdots+ P\left(A \mid B_{n}\right) P\left(B_{n}\right)
\end{array}
上式即為全概率公式。
貝葉斯公式 設S為試驗E的樣本空間為S. A為E的事件, B1,B2,...,Bn為S的一個划分, 且P(A)>0, P(Bi)>0 (i=1,2,...,n), 則
在A發生的前提下，發生Bi的概率 = 同時發生A和Bi的概率 / A發生的概率 = 在Bi發生時，發生A的概率 * 發生Bi的概率 / （B1的情況發生時，發生A的概率 + B2的情況發生時，發生A的概率 +...+Bn的情況發生時，發生A的概率）獨立性
定理一 設A,B是兩個事件，且P(A)>0. 若A,B相互獨立，則P(B|A)=P(B), 反之亦然.
定理二 若事件A與B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立:
\(A {與} \bar{B}, \bar{A}\) 與 \(B, \bar{A}\) 與 \(\bar{B}\)
定義 設A,B,C是三個事件，如果滿足等式
\(\left.\begin{array}{l}P(A B)=P(A) P(B), \\ P(B C)=P(B) P(C), \\ P(A C)=P(A) P(C), \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C),\end{array}\right\}\)
則稱事件A,B,C相互獨立.
一般地，設A1,A2,...,An是n(n≥2)個事件，如果對於其中任意2個，任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率，都等於各個事件概率之積，則稱事件A1,A2,...,An相互獨立