参考自 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计 第四版[M]// 概率论与数理统计, 第四版. 高等教育出版社, 2008.
概率论的基本概念
统计规律性 大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
随机现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
随机试验 具有以下三个特点的试验称为随机试验
- 可以在相同条件下重复进行
- 每次试验的可能结果不知一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
- 进行一次试验前，不能确定哪一个结果会出现
样本空间
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，称为样本点
随机事件
试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。
每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件
比如，
试验E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
试验E1的样本空间S1:{H,T}
试验E1有两个基本事件{H}和{T}
事件间的关系
和事件: 事件A∪B ，并集
积事件: 事件A∩B ，交集
差事件: A-B，事件A发生且事件B不发生
互斥事件: 不能同时发生的事件，又称它们是互不相容的。
对立事件: 要么事件A发生，要么事件B发生。事件A和事件B互为逆事件。
频率
在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值 na/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(a)
概率
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。
概率具有以下特点：
- 非负性：每一个事件的概率都大于或等于0
- 规范性：必然事件的概率为1
- 可列可加性：对于两两互不相容
等可能概型(古典概型)
古典概型，具有以下两个特点：
- 可能出现的结果是有限的几个
- 每种可能出现的结果出现的概率相同
条件概率
设A,B是两个事件，且P(A)>0, 称
\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}\)
为在事件A发生的条件下时间B发生的条件概率
乘法定理 设P(A)>0, 则有
P(AB)=P(B|A)P(A)
定义 设S为试验E的样本空间，B1,B2,...,Bn为E的一组事件。若
(i) \(B_{i} B_{j}=\varnothing, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n\)
(ii) \(B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots \cup B_{n}=S\)
则称为样本空间S的一个划分.
定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，...,Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0 (i=1,2,...,n),则
\begin{array}{c}
P(A)=P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)+\cdots+ P\left(A \mid B_{n}\right) P\left(B_{n}\right)
\end{array}
上式即为全概率公式。
贝叶斯公式 设S为试验E的样本空间为S. A为E的事件, B1,B2,...,Bn为S的一个划分, 且P(A)>0, P(Bi)>0 (i=1,2,...,n), 则
在A发生的前提下，发生Bi的概率 = 同时发生A和Bi的概率 / A发生的概率 = 在Bi发生时，发生A的概率 * 发生Bi的概率 / （B1的情况发生时，发生A的概率 + B2的情况发生时，发生A的概率 +...+Bn的情况发生时，发生A的概率）独立性
定理一 设A,B是两个事件，且P(A)>0. 若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B), 反之亦然.
定理二 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立:
\(A {与} \bar{B}, \bar{A}\) 与 \(B, \bar{A}\) 与 \(\bar{B}\)
定义 设A,B,C是三个事件，如果满足等式
\(\left.\begin{array}{l}P(A B)=P(A) P(B), \\ P(B C)=P(B) P(C), \\ P(A C)=P(A) P(C), \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C),\end{array}\right\}\)
则称事件A,B,C相互独立.
一般地，设A1,A2,...,An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个,...,任意n个事件的积事件的概率，都等于各个事件概率之积，则称事件A1,A2,...,An相互独立