最長公共子序列圖解、算法實現和復雜度分析

LCS和萊文斯坦距離的解決思路非常類似，都是利用動態規划的方式來解決。可以參見上一篇“萊文斯坦距離”，兩個概念對比着看理解為更深入！

 

LCS定義

同樣引用百科：

最長公共子序列（LCS）是一個在一個序列集合中（通常為兩個序列）用來查找所有序列中最長子序列的問題。與查找最長公共子串的問題不同的地方是：子序列不需要在原序列中占用連續的位置。最長公共子序列問題是一個經典的計算機科學問題，也是數據比較程序，比如Diff工具，和生物信息學應用的基礎。它也被廣泛地應用在版本控制，比如Git用來調和文件之間的改變。

 

狀態轉移方程

如果產出的是最長公共子序列的長度，則方程為：

 注意：上面狀態轉移方程中，最后的1是一個指示函數，表示如果a字符串第i個字符和b字符串第j個字符相同則為1，否則取0；

 

如果最終需要產出最長公共子序列的具體內容，則可以在動態規划的每一步驟保存當前LCS字符串，則最后一步產出的就是兩個輸入字符串的LCS。對應的狀態轉移方程也要適當變一下：

1. min(i, j) == 0時，lcs的取值從0改為空字符串；

2. 最后一行指示函數的值從1改為a_i字符的內容。如下所示：

 

計算過程圖解

假設要計算str_a = "abcdd" 和 str_b = "aacbd" 的最長公共子序列，則可以橫向從左向右遍歷（方便起見，單元格里記錄的是lcs的長度，放lcs字符串的話寫不下。。）：

如圖所示，按照狀態轉移方程，除了第一行和第一列之外的每個單元格，都只依賴其左、上、左上三個單元格的內容，所以每一行的計算只需要緩存當前橫行和上一橫行的內容即可。

 

代碼實現 

python實現代碼如下： 

#-*- encoding:utf-8 -*-
import sys
import pdb


def lcs(str_a, str_b):
    """最長公共子序列
    attributes:
        str_a: 字符串a
        str_b: 字符串b
    return:
        兩個字符串的最長公共子序列內容
    exception:
        TypeError
    """

    # 異常檢測
    if not isinstance(str_a, basestring) or not isinstance(str_b, basestring):
        raise TypeError("Input must be string!")

    # 定義lcs記錄矩陣
    matrix = [["" for j in range(len(str_b) + 1)] for i in range(len(str_a) + 1)]
    
    for i in range(1, len(str_a) + 1):
        for j in range(1, len(str_b) + 1):
            sub_a = matrix[i - 1][j] # 上方單元格
            sub_b = matrix[i][j - 1] # 左側單元格
            sub_a_b = matrix[i - 1][j - 1] \
                + (str_a[i - 1] if str_a[i - 1] == str_b[j - 1] else "") # 左上單元格

            # 記錄下最長的字符串
            tmp_str = sub_a if len(sub_a) > len(sub_b) else sub_b
            matrix[i][j] = tmp_str if len(tmp_str) > len(sub_a_b) else sub_a_b

    return matrix[-1][-1]


def main(str_a, str_b):
    ret = lcs(str_a, str_b)
    print("lcs=%s, lcs_length=%s" % (ret, len(ret)))


if __name__ == '__main__':
    main(sys.argv[1], sys.argv[2])

執行結果

[[e-mail] longest_common_subsequence]$ python lcs_dp.py abcde acdebbbbbb
lcs=acde, lcs_length=4

空間復雜度優化后的代碼。優化點有兩個：

1. 只創建一個2行的記錄矩陣，節省空間；

2. 記錄矩陣的列選取相對短的字符串的長度

#-*- encoding:utf-8 -*-
import sys
import pdb


def lcs(str_a, str_b):
    """最長公共子序列
    attributes:
        str_a: 字符串a
        str_b: 字符串b
    return:
        兩個字符串的最長公共子序列內容
    exception:
        TypeError: 輸入的不是字符串
    """

    # 異常檢測
    if not isinstance(str_a, basestring) or not isinstance(str_b, basestring):
        raise TypeError("Input must be string!")

    # 讓str_b為更短的字符串，這樣空間復雜度能更小一些
    if len(str_a) < len(str_b):
        tmp = str_b
        str_b = str_a
        str_a = tmp

    # 定義一個2 * (len(str_b)+1)的記錄矩陣
    matrix = [["" for j in range(len(str_b) + 1)] for i in range(2)]
    curr_i = 1

    for i in range(1, len(str_a) + 1):
        for j in range(1, len(str_b) + 1):
            sub_a = matrix[1 - curr_i][j]
            sub_b = matrix[curr_i][j - 1]
            sub_a_b = matrix[1 - curr_i][j - 1] \
                + (str_a[i - 1] if str_a[i - 1] == str_b[j - 1] else "")

            # 記錄下最長的字符串
            tmp_str = sub_a if len(sub_a) > len(sub_b) else sub_b
            matrix[curr_i][j] = tmp_str if len(tmp_str) > len(sub_a_b) else sub_a_b
        curr_i = 1 - curr_i

    return matrix[1 - curr_i][-1]


def main(str_a, str_b):
    ret = lcs(str_a, str_b)
    print("lcs=%s, lcs_length=%s" % (ret, len(ret)))


if __name__ == '__main__':
    main(sys.argv[1], sys.argv[2])

執行結果

$ python lcs_dp_opt.py abcde acdeb
lcs=acde, lcs_length=4

 

復雜度分析

類比萊文斯坦距離的復雜度：

1.  LCS的時間復雜度是O(m * n)

2. LCS的空間復雜度也是O(m * n)，但同樣也可以優化成O(2 * min(m, n))，即可以達到O(n)級別