numpy.cov() 協方差計算方法

公式原理

• 對於隨機變量\(X\)，\(Y\)，協方差\(COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY\)
• 假設選取n個樣本即，對於總體\(X\)的樣本即為\(X_1=[x_1,x_2,x_3,...]\)，均值記為\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i{x_i}\)，\(Y\)同上
• 樣本方差計算，采用總體的無偏估計量計算：\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}\)
• 協方差矩陣\(COV([Z_1,Z_2])=\left[ \begin{matrix} COV(Z_1,Z_1) &COV(Z_1,Z_2)&\\COV(Z_2,Z_1)&COV(Z_2,Z_2)\end{matrix} \right]\)

numpy中的cov方法(可點擊跳轉官方文檔)

• 重要參數：rawvar(default:True)，即numpy的cov方法中默認一個矩陣中，行為一個隨機變量，列為其觀測值（即樣本\(s\)），即：

	\(s_1\)	\(s_2\)
X
Y

實例：

import numpy as np
a=[1,2,3]
b=[5,5,6]
z=np.stack((a,b))
np.cov(z)
#即:
#[cov(a,a),cov(a,b)]
#[cov(b,a),cov(b,b)]
#output:
#      array([[1.        , 0.5       ],
#             [0.5       , 0.33333333]])

代碼：

def cov(x,y):# x為向量，即觀測值(樣本)向量
    n=len(x)
    x_bar=np.mean(x)
    y_bar=np.mean(y)
    var=np.sum((x-x_bar)*(y-y_bar))/(n-1)
    return var
print(cov(a,a),cov(a,b),cov(b,b))
#output:
#      1.0 0.5 0.33333333333333337

references:

https://njuferret.github.io/2019/07/26/2019-07-26-covariance/