二進制拆分

在網絡上找的我好辛苦啊！！！因為本人太蒟了，看了好多博客都沒看懂，然后莫名秒懂。

 

原理：一個數能夠被拆分為任意二進制的和。 (這個原理造出來好多算法啊QAQ)

T=2^p₁+2^p₂+2^p₃+...+2^p_n

而且       小於等於       T的所有整數都能被2^p₁       2^p₂      2^p₃      ....     2^p_n的和表示出來

 

證明我不會，但是我知道任意一個數都有自己的二進制形式，比如     13=1101

小於等於13的二進制數肯定不會超過4位，對於T如果有K位，那么小於等於T的數都不可能大於K位

(因為2¹ + 2² + 2³ ...  + 2^p-1   = 2^p  - 1)

網絡上有個例子就是什么：

2⁰+2¹+2²能表示出1到7的任意整數，那么2⁰+2¹+2²+ 6就能表示出1~13的整數

這個例子的剖析就是說：

一個數表示拆成小於它的所有二的次方的和(這個二次方的指數要是遞增的)后會剩下一個數。

 

然后我們這樣拆分之后就能用log(n)個數表示出 你想表示出來的1~n中的任意數了

放個二進制拆分的例子直觀的感受一下它的用途：

多重背包；

眾所周知多重背包的朴素算法就是如果第i件物品有 k_i 個，那么我們不妨將i物品直接復制為k_i個然后做01背包

這樣的時間復雜度是O(nmΣk_i)的；

這玩意很容易超時啊！！！

算法的復雜度瓶頸就在與我們把物品分成k_i個做01背包了，

但是你可以把k_i進行二進制拆分，把物品欄中加入重量為wi * (2^p),體積為vi *(2^p)的物品了

這樣拆分后與拆成k_i個物品做零一背包是等效的，因為同樣都可以表示出加入當前i物品1~k_i個的價值以及重量

然后時間復雜度就優化到了O(nmlog(Σk_i))

核心代碼為:

  for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  
　　 for (int j = 1 ; j <= k[i] ; j <<=1)
　　　t++,val[t]=j*v[i],waste[t]=j*w[i];